Дифференцируемость и дифференциал функции

Рассмотрим функцию и = f (х ₁, х ₂,..., х_п), Р(х ₁, х ₂,..., х_п)ÎDÌR ⁿ. Придадим одновременно всем переменным х_i приращения D х_i соответственно. Тогда функция и получит приращение

D и = f (х ₁+D х ₁, х ₂+D х ₂,..., х_п +D х_п) – f (х ₁, х ₂,..., х_п)

Это приращение называют полным приращением функции и.

Определение 7.2. Функция называется дифференцируемой в точке Р(х ₁, х ₂,..., х_п), если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции можно представить в виде

D и = А₁D х ₁ + А₂D х ₂ +...+ А _п D х_п + a₁D х ₁ + a₂D х ₁ +... + a _п D х_п,

где A _i – константы, a _i = o(D х_i), i = 1,2,..., п.

Функция, дифференцируемая в каждой точке множества D, называется дифференцируемой на этом множестве.

Сумма А₁D х ₁ + А₂D х ₂ +...+ А _п D х_п в полном приращении функции линейна относительно приращений аргументов х ₁, х ₂,..., х_п . Можно доказать, что эта сумма эквивалентна приращению D и.

Определение 7.3. Часть полного приращения функции и = f (х ₁, х ₂,..., х_п), линейная относительно приращений аргументов, называется полным дифференциалом функции и обозначают du.

Таким образом, du = А₁D х ₁ + А₂D х ₂ +...+ А _п D х_п. Если функция дифференцируема, то для нее существует дифференциал и наоборот.

Теорема 7.2.(необходимое условие дифференцируемости)

Если и = f (х ₁, х ₂,..., х_п) дифференцируема в точке Р(х ₁, х ₂,..., х_п), то для нее существуют частные производные первого порядка по всем аргументам и

du = D х ₁ + D х ₂ +...+ D х_п.

То есть А _i = " i =1,2,..., n. Так как для независимой переменной dх = D х, то в последней записи дифференциала можно заменить приращения аргументов их дифференциалами и получим

du = dх ₁ + dх ₂ +...+ dх_п.

Из аналогии с функцией одной переменной обозначим – частный дифференциал функции и, получим выражение для полного дифференциала , то есть полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме частных дифференциалов этой функции по всем ее аргументам.

Согласно теореме 7.2, существование частных производных первого порядка есть необходимое условие дифференцируемости, но это условие (в отличие от функции одной переменной) не является достаточным. Например, для функции

производная в точке (0, 0) существует, но полное приращение не представимо в виде D f = А₁D х + А₂D у + a₁D х + a₂D у (убедитесь в этом самостоятельно).

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая

Теорема 7.3.

Если в окрестности точки Р(х ₁, х ₂,..., х_п) функция и = f (х ₁, х ₂,..., х_п) имеет непрерывные частные производные " i =1,2,..., n, то она дифференцируема в этой точке.

Так как в равенстве

D и = А₁D х ₁ + А₂D х ₂ +...+ А _п D х_п + a₁D х ₁ + a₂D х ₁ +... + a _п D х_п,

a _i – бесконечно малые более высокого порядка, чем D х_i , то

a₁D х ₁ + a₂D х ₁ +... + a _п D х_п = о(D х ₁ + D х ₁ +... + D х_п).

Значит, как и для функции одной переменной,

D и » du

и в случае функции нескольких переменных.

Пусть Р(х ₁, х ₂,..., х_п) и Р₀(а ₁, а ₂,..., а_п). Тогда D х_i = х_i – a_i, и

D и = f (P) – f (P₀) » D х ₁ + D х ₂ +...+ D х_п =

= (х ₁ – а ₁) + (х ₂ – а ₂) +...+ (х_п – а_п),

откуда f (P) » f (P₀) + (х ₁ – а ₁) + (х ₂ – а ₂) +...+ (х_п – а_п). (1)

Сумма, стоящая в правой части этого приближенного равенства, определяет линейную функцию переменных х ₁, х ₂,..., х_п, поэтому формула (1) носит название формулы линеаризации функции п переменных в окрестности точки Р₀.

Для функции z = f (x, y) двух переменных формула линеаризации в точке Р₀(х ₀, у ₀) имеет вид

f (x, y) » f (х ₀, у ₀) + . (2)

Обозначим z ₀= f (x ₀, y ₀) и рассмотрим линейную функцию, стоящую в правой части равенства (2)

z = z ₀ +

или – (z – z ₀) = 0. (3)

Равенство (3) в пространстве R³ определяет плоскость, проходящую через точку (х ₀, у ₀, z ₀). Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке М₀(х ₀, у ₀, z ₀).

Касательной плоскости принадлежат касательные к всевозможным кривым, лежащим на поверхности z = f (x, y) и проходящим через эту точку.

Таким образом, геометрически линеаризация функции z = f (x, y) в точке Р(х ₀, у ₀) означает замену поверхности z = f (x, y) в окрестности точки (х ₀, у ₀, z ₀) касательной плоскостью, проведенной к этой поверхности в указанной точке.

Нормалью к поверхности называют прямую, проходящую перпендикулярно касательной плоскости, через точку касания. Уравнение нормали кповерхности имеет вид

.

Если поверхность задана неявным уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

,

а уравнение нормали

.

Дадим определение дифференциала второго порядка.

Определение 7.4.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, рассматриваемого как функция переменных х и у при фиксированных значениях dx, dy. Обозначается дифференциал второго порядка функции символом или .

Справедлива формула

Понятие дифференциала третьего и выше порядков можно ввести по аналогии.

Будем говорить, что

¨ функция и = f (х ₁, х ₂,..., х_п) называется k раз дифференцируемой в точке Р, если все ее частные производные (k – 1)-го порядка дифференцируемы в этой точке.

¨ функция и = f (х ₁, х ₂,..., х_п) k раз дифференцируема в точке Р, если все ее частные производные k -го порядка непрерывны в этой точке.

*) В дальнейшем для сокращения записи «Функции нескольких переменных» будем использовать аббревиатуру ФНП