Вычисление двойного интеграла




Лекция 22. Двойной интеграл, его вычисление. Криволинейные интегралы.

(2ч).

Содержание лекции: Двойной интеграл, его вычисление по правильной области в декартовых координатах. Криволинейный интеграл первого рода, его вычисление.

Криволинейный интеграл второго рода.

 

Двойной интеграл

 

Пусть в ограниченной замкнутой области DÌ R 2 задана непрерывная функция .

Разобьем D на n частей D i, площадь D i обозначим DS i, а

l n = .

В каждой области D i произвольным образом возьмем точку ÎD i и вычислим f (Pi). Составим – интегральную сумму для функции по области D. Будем рассматривать последовательность {s n } интегральных сумм, соответствующую различным разбиениям таким, что l n ® 0 при n ® ¥ (нормальная последовательность разбиений).

Определение 22. 1.

Если существует конечный предел последовательности {s n } при ln ® 0, не зависящий ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом по области D от функции f (х, у) и обозначается .

Таким образом, по определению:

В этом случае функция называется интегрируемой в области D.

 

Теорема 4.1.

Если f (P) непрерывна в D, то она интегрируема в этой области (то есть существует ).

Свойства двойного интеграла:

1.

2. - свойство линейности

3. Если , то

(свойство аддитивности)

4. Если " P (x, y)ÎD, то .

5. Если m £ f ((x, y) £ M, " P (x, y)ÎD,то .

6. Существует точка Q (x, y)Î D: = f(Q) ×|D| (Теорема о среднем.)

(4-6 – свойства оценки интеграла по области).

Рассмотрим геометрический смысл интеграла

Введем понятие: цилиндрическим телом назовем пространственное (в R 3) тело, ограниченное плоскостью z= 0, поверхностью и цилиндрической поверхностью, направляющая которой есть граница области D Î R 3, а образующая параллельна оси OZ.

Разобьем область D на части D ij , и на каждой из них построим параллелепипед с высотой f (ξi, ηj), где Р (ξi, ηj) – любая точка, принадлежащая Dij .

Тогда

Vц.т . ,

откуда

Vц.т . = .

Таким образом, двойной интеграл, с геометрической точки зрения, численно равен объему цилиндрического тела. Физическую интерпретацию (масса плоской области) дать самостоятельно.

Вычисление двойного интеграла

Так как по определению интеграл не зависит от способа разбиения D на части, то разобьем D на части прямыми, параллельными осям координат. Для этого спроектируем D на оси координат. Получим отрезки [ a, b ] на оси ОХ и [ c, d ] на OY соответственно.

Разобьем эти отрезки точками:

a < x 1 < x 2 <... < xn = b

c < y 1 < y 2 <... < yk = d

Тогда область D разобьется на прямоугольники (полные, или их части) Dij, i= , j = , площади которых:

| Dij | = D Sij = D xi D yj, гдеD xi = xi- xi- 1,D yj = yj - yj- 1

И если , то по определению:

,

где (ξi, ηj) - любая точка, принадлежащая прямоугольнику Dij.

Но так как

,

то есть имеем двойное суммирование, отсюда и термин (и обозначение) – двойной интеграл.

 

 

Определим способы вычисления ДИ

Определение 22.2.

Область D Î R2 называется правильной в направлении оси OY, если она ограниченна линиями x = a, x = b, y = j1(x), y = j2(x), причем j1(x) £ j2(x) для любого x Î[ a,b ].

В этом случае каждая прямая, проходящая параллельно OY через любую внутреннюю точку PÎD, пересекает границу области только в двух точках М1, М2. Точку М1 называют точкой «входа» (в направлении OY), М2точкой «выхода». Линия y = j1(x), на которой лежат точки «входа» - это «линия входа», y= j2(x) – «линия выхода».

Таким образом, область правильная в направлении оси, если она в направлении этой оси имеет только одну линию входа и одну линию выхода.

Например, на рисунке изображена область, неправильная в направлении оси ОХ, ее можно разбить на две правильные области:

 
 

 

 


Аналогично определяется область, правильная в направлении оси ОХ: ограниченную линиями y = c, y = d, кривыми х = y1(у), х = y2 ), причем y1(у) £ y2(у) для любого y Î[ c,d ].

 

Теорема 22.2.

Пусть f (x,y) – непрерывная в области D функция.

1) Если D – правильная в направлении оси OY, то

2) Если D – правильная в направлении оси OX, то

Интегралы, стоящие справа, называются повторными интегралами (или двукратными). Последняя запись – условное, сокращенное изображение предыдущей. Понимается она так, как записано в центре. При этом первый (левый) интеграл называется внешним, а его переменная – внешней переменной, пределы – внешними пределами.

Второй (в скобках или справа) – внутренний интеграл, его переменная – внутренняя, пределы – внутренние. Запись этих интегралов определяет порядок интегрирования: no dx - no dy; no dy - no dx (так же как при вычислении смешанной производной второго порядка).

Пример 1.

D – правильная в любом направлении.

 

 

 

Пример 2.

(точки пересечения: х + х = 2, х = 1, y = 1)

=

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: