Захарченко Анатолий Данилович 8 глава

Пусть точка М движется относительно подвижной системы координат. Векторы и характеризуют положение точки М относительно неподвижной и подвижной системы осей координат. Для любого момента времени

Продифференцировав по времени это векторное тождество, получим

где – абсолютная скорость точки М; – скорость точки О. Для вычисления применим формулу Бура (2.92):

где – относительная скорость точки М; – угловая скорость вращения подвижной системы отсчета.

Таким образом, имеем

(2.93)

Скорость является скоростью точки свободного тела, скрепленного с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент совпадает точка М. Это переносная скорость точки М. На основании этого получаем теорему сложения скоростей для точки

(2.94)

Скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

2.6.4. Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

 

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной от абсолютной скорости

Для полных производных от векторов и применим формулу Бура. Получим выражение:

Учитывая, что

из уравнения (2.95) получим формулу для абсолютного ускорения:

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение той точки свободного твердого тела вместе с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Следовательно, это переносное ускорение точки М:

где – ускорение точки О; – вращательное ускорение; – осестремительное ускорение точки тела во вращении вокруг полюса О.

Ускорение называется ускорением Кориолиса.

Таким образом, формула (2.96) для определения абсолютного ускорения принимает вид

Она выражает теорему сложения ускорений, или теорему Кориолиса:

Абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений: переносного, относительного и Кориолиса.

 

2.6.5. Ускорение Кориолиса

 

Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияние двух движений: переносного и относительного. Часть его получается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть тоже есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения.

Модуль ускорения Кориолиса определяется выражением

(2.98)

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения. Кроме того, направление ускорения Кориолиса удобно определять по правилу Жуковского (рис. 2.51).

Чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор относительной скорости спроектировать на плоскость перпендикулярную оси переносного вращения и вектор проекции повернуть на 90° вокруг оси, параллельной оси переносного вращения в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса, т.е. ускорение , если:

1) , т.е. переносное движение является поступательным;

2) , т.е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;

3) , т.е. когда скорость относительного движения параллельна угловой скорости переносного движения .

 

Тема 2.7. Сложное движение твердого тела

 

Сложным движением твердого тела называют такое его движение по отношению к неподвижной системе отсчета, которое состоит из относительного и переносного движений (рис. 2.52).

Относительным движением твердого тела называют его движение по отношению к некоторой подвижной системе координат O₁x₁y₁z₁.

Переносным движением твердого тела является движение подвижной системы координат относительно неподвижной Oxyz.

Абсолютным движением тела называют его сложное или результирующее движение по отношению к неподвижной системе отсчета.

 

2.7.1. Сложение поступательных движений

 

Предположим, что тело А (рис. 2.53) движется поступательно относительно подвижной системы координат O₁x₁y₁z₁ (относительное движение), а система O₁x₁y₁z₁ движется поступательно относительно неподвижной системы координат Oxyz (переносное движение).

Совокупность двух одновременных поступательных движений твердого тела кинематически эквивалентна некоторому одному (абсолютному) поступательному движению, причем скорость абсолютного поступательного движения и его ускорение соответственно равны геометрической сумме скоростей или ускорений обоих данных поступательных движений, т.е.

Полученный вывод можно обобщить и на случай совокупности нескольких поступательных движений тела. Тогда получим:

(2.99)

2.7.2. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

 

Предположим, что тело, например цилиндр, вращается в данный момент времени вокруг оси с угловой скоростью (относительное движение), а ось вращается вокруг с угловой скоростью (переносное движение), рис 2.54.

Два одновременных вращения вокруг пересекающихся осей с мгновенными угловыми скоростями и кинематически эквивалентны одному вращению с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме . Мгновенная ось абсолютного вращения проходит через точку пересечения складываемых угловых скоростей и направлена по вектору .

Если тело одновременно имеет любое число вращений вокруг мгновенных осей, пересекающихся в одной точке О, с угловыми скоростями , то абсолютным движением является также мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через точку О с угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей данных вращений

(2.100)

Абсолютная угловая скорость равна главному вектору системы векторов угловых скоростей всех данных вращений. Вектор приложен в точке пересечения всех

 

2.7.3. Сложение вращений твердого тела вокруг

параллельных осей

Вращения имеют одинаковые и противоположные направления. Пусть тело вращается с угловой скоростью вокруг оси O₂z₂, которая вращается с угловой скоростью вокруг оси O₁z₁ относительно неподвижной системы координат O₁x₁y₁z₁. Пусть мгновенные угловые скорости составляющих вращений (одно из которых принимаем за относительное, другое – за переносное) и параллельны между собой и направлены в одну сторону (рис. 2.55) либо в разные стороны (рис. 2.56), но при этом они не равны по величине .

 

Совокупность двух вращений, происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось которого делит внутренним или внешним образом расстояние между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей составляющих вращений.

Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгновенная ось вращения расположена между осями O₁z₁ и O₂z₂ и модуль результирующей угловой скорости . В случае противоположно направленных вращений мгновенная ось расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей угловой скоростью . Результирующая угловая скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.

Точка Р является мгновенным центром скоростей, и справедлива зависимость

Пара вращений

Рассмотрим сложное движение, состоящее из двух вращений относительно параллельных осей O₁z₁ и O₂z₂ (рис. 2.57).

Пусть угловые скорости относительного и переносного вращений равны по модулю, но противоположно направлены ). Такая совокупность движений называется парой вращений.

Векторное произведение называется моментом пары вращений.

Тело, участвующее в паре вращений,движется поступательно со со скоростью, равной моменту пары вращений. Справедливо обратное утверждение: скорость поступательного движения может быть представлена в виде пары угловых скоростей, плоскость которой перпендикулярна .

 

2.7.4. Сложение мгновенных поступательных и вращательных движений твердого тела

 

· Скорость поступательного движения параллельна оси вращения тела. Винтовое движение

Предположим тело Р движется поступательно со скоростью относительно системы координат O₂x₂y₂z₂ (см. рис. 2.58), а она, в свою очередь, вращается вокруг неподвижной оси O₁z₁ с угловой скоростью , параллельной скорости поступательного движения.

Рассмотренное сложное движение тела называется мгновенно-винтовым движением или кинематическим винтом. Величина называется параметром винта.

Винтовое движение называют пермаментным, если и при изменении времени t. Любая точка В тела в этом случае во все время движения остается на поверхности круглого цилиндра, описывая винтовую линию (рис. 2.59).

Пусть в начале движения точка находится в положении . Если точка B совершает только вращательное движение, то для произвольного положения B можно

 

 

составить следующие кинематические уравнения этого движения:

или

,

где .

Рис. 2.59

Но за этот же промежуток времени t точка может двигаться параллельно оси z со скоростью , следовательно, она поднимается на высоту

Уравнения (2.101) и (2.102) представляют собой параметрические уравнения винтовой линии.

Полный оборот каждая точка на теле делает за время . Расстояние h, на которое поднимается точка за время одного оборота, называется шагом винта:

 

где p – параметр винта,

· Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения тела.

Предположим, что тело вращается в данный момент времени с угловой скоростью вокруг оси, жестко скрепленной с другим телом, имеющим поступательное движение со скоростью , перпендикулярной вектору угловой скорости первого тела (рис. 2.60).

Результирующее движение эквивалентно только одному вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точку с Рис.2.60

угловой скоростью , равной скорости заданного вращения:

(2.103)

· Скорость поступательного движения направлена под углом φ к оси вращения тела

Скорость поступательного движения направлена под углом φ к угловой скорости вращательного движения (рис. 2.61).

В этом случае поступательное движение со скоростью можно сначала представить как совокупность двух поступательных движений со скоростями и , причем (рис. 2.61) и .

Поступательное движение со скоростью (в соответствии со вторым случаем) можно заменить парой вращений . Получим систему четырех движений при этом два последних движения эквивалентны нулю, следовательно, остается мгновенно-винтовое движение или кинематический винт.

Если скорости и , то движение будет винтовым. При этом ось винта отстоит от оси O₁z₁ на расстоянии

(2.104)

2.7.5. Общий случай сложения произвольной совокупности движений твердого тела.

 

Методы приведения системы нескольких одновременных вращательных и поступательных движений одного и того же твердого тела имеют полную аналогию с методами приведения в статике твердого тела системы сил и пар сил, приложенных к телу, к простейшей системе сил. Аналогом силы, приложенной к твердому телу скользящего вектора в статике, в кинематике является скользящий вектор угловой скорости вращения вокруг оси.

Моменту пары сил соответствует момент пары вращений, выражающий скорость поступательного движения, эквивалентного кинематически данной паре вращений. Процесс приведения системы скользящих векторов к простейшей системе одинаков как в статике, так и в кинематике. Поэтому сформулируем общий вывод:

совокупность какого угодно числа одновременных вращений и поступательных движений твердого тела можно привести к двум одновременным движениям: вращательному и поступательному.

Предварительно заменим каждое поступательное движение тела соответствующей эквивалентной парой вращения. Тогда вся первоначальная система движений окажется совокупностью одних вращений.

Угловая скорость результирующего вращательного движения равна главному вектору всей системы угловых скоростей, включая угловые скорости, появляющиеся при замене поступательных движений парами вращений. За точку приложения вектора можно принять любой центр приведения О. Тогда результирующее поступательное движение тела будет иметь скорость , равную главному моменту относительно центра О системы векторов, выражающих угловые скорости первоначально данной системы вращений, т.е.

(2.105)

Очевидно, что по аналогии со статикой и в данном случае имеются инварианты и по отношению к центру приведения системы приводимых движений.

 

Заключение

 

Современные технические решения требуют от будущего инженера соответствующих знаний и умения в исследовании так называемого механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Рассмотренные в данном конспекте лекций разделы теоретической механики статика и кинематика дают студентам именно такие знания для успешного решения различных инженерных задач и профессионального отношения к своей специальности.

 

Контрольные вопросы

 

Статика

 

1. Какой раздел теоретической механики называется статикой?

2. Сформулировать основные понятия статики.

3. Что понимается под «связью» и «реакцией связи»?

4. Сформулировать основные аксиомы статики.

5. Равнодействующая и её определение.

6. Как определяются реакции для основных типов связи?

7. Что называется моментом силы относительно точки?

8. Что называется моментом силы относительно оси?

9. В каких случаях моменты силы равны нулю?

10. Что понимается под парой сил и её моментом?

11. Сформулировать условие эквивалентности пар сил.

12. Как сложить пары сил на плоскости и в пространстве?

13. Сформулировать теорему Пуансо.

14. Что понимается под главным вектором и главным моментом?

15. Сформулировать условия равновесия системы сходящихся сил.

16. Сформулировать условия равновесия плоской системы сил.

17. Сформулировать условия равновесия пространственной системы сил.

18. Назвать частные случаи приведения пространственной системы сил.

19. Как формулируется теорема Вариньона?

20. Какие задачи называются статически определимыми и наоборот?

21. Сформулировать основные законы трения скольжения.

22. Сформулировать основные законы трения качения.

23. Как определяются координаты центра параллельных сил?

24. Привести формулы для определения координат центра тяжести плоских тел, объемных тел.

25. Привести формулы для определения координат центра тяжести неоднородных тел.

 

Кинематика

 

1. Какой раздел теоретической механики называется кинематикой?

2. Назвать способы задания движения точки.

3. Определение скорости точки при различных способах задания её движения.

4. Определение ускорения точки при различных способах задания её движения.

5. Что понимается под естественными координатными осями?

6. Что характеризует нормальное ускорение, касательное ускорение?

7. Назвать простейшие движения твердого тела.

8. Какое движение называется поступательным и его свойства?

9. Какое движение называется вращательным и его уравнение?

10. Основные кинематические характеристики вращательного движения.

11. Какое движение называется плоскопараллельным и его уравнения движения?

12. Примеры определения мгновенного центра скоростей.

13. Сформулировать теорему о скоростях точек плоской фигуры.

14. Теорема об ускорениях точек при плоском движении.

15. Как читается теорема Эйлера в случае мгновенного движения твердого тела?

16. Как записать уравнения сферического движения твердого тела?

17. Скорость и ускорение при сферическом движении твердого тела.

18. Сложное движение точки и его составляющие.

19. Теорема сложения скоростей при сложном движении точки.

20. Теорема сложения ускорений при сложном движении точки.

21.Ускорение Кориолиса, определение его модуля и направления.

22. Объяснить причины возникновения ускорения Кориолиса.

23.Что понимается под сложным движением твердого тела?

24. Как сложить вращения вокруг параллельных осей?

25. Как сложить вращения вокруг пересекающихся осей?

 

Библиографический список

 

1. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. – СПб.:Изд-во «Лань», 1998. – 768 с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш. шк.,1998. – 416 с.

3. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: В 2-х томах. – М.: Наука, 1982. – Т.1 – 352 с.; Т.2. – 640 с.

4. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике. – М.: Высш. шк., 1972. – 432 с.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Физматгиз, 1971 и последующие издания. – 460 с.

6. Бражниченко Н.А. и др. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Высш. шк., 1974. – 520 с.

 

Захарченко Анатолий Данилович