Задача 7
Стальной стержень переменного сечения нагружен моментами М1, М2. Модуль сдвига материала G = 80 ГПа.
Требуется: раскрыть статическую неопределённость; построить эпюры крутящих моментов Мк и наибольших касательных напряжений tmax; определить размеры поперечных сечений из расчёта на прочность по допускаемым напряжениям; построить эпюру углов закручивания j.
Исходные данные
| Шифр | М1 кНм | М2 кНм | l м | h/b | d/b | Dср/b | tт МПа | nт |
| 3–2 | 1,4 | 2,0 | 1,0 | 1,5 | 2,0 |
Расчётная схема и эпюры
Решение
Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты MA и MB, которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:
MA – M1 + M2– MB = 0. (1)
Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные MA и MB. С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом MB, пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M1, M2, MB в виде моментов, в том числе и искомый – MB. Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. 
. Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M1, M2, MB.
По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):
. (2)
При составлении этого уравнения учтено, что момент M1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M2 – участки 1 и 2, а момент MB – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на 
и G и получим
. (3)
Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения MA и MB. Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J 
, J 
, J 
.
Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения
(4)
Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении
J 
(5)
Здесь 
– табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение 
берётся из таблицы.
Формула (5) даёт результат
J 
. (6)
Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому
(7)
Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)
Сокращаем во всех слагаемых b4, проводим несложные арифметические подсчёты и получаем
После преобразований уравнение принимает вид
14,89 MB = 17,78.
Отсюда имеем
MB = 
1,194кНм.
Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:
MA = M1 – M2 + MB = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.
Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.
Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M 
. Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.
Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:
Отсюда имеем
Сечение 2–2
Сечение 3–3
кНм.
По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности
(8)
Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле
Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:
Ввторой формуле 
– табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение 
взято из таблицы.
Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:
(9)
(10)
(11)
Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.
Допускаемое касательное напряжение
.
Условие прочности (8) принимает конкретный вид
Отсюда определяем ширину прямоугольного сечения
Остальные размеры находятся из соотношений, заданных условием задачи:
Зная размер b, теперь по формулам (9)–(11) найдем наибольшее касательное напряжение для каждого участка:
Максимальное касательное напряжение в сечениях второго участка должно получаться в данной задаче равным допускаемому напряжению, так как именно по условию прочности этого участка определён размер b. Небольшая разница, образовавшаяся здесь: 100 МПа вместо 99,98 МПа, объясняется арифметическими погрешностями округления чисел в ходе вычислений.
С помощью этих результатов строим эпюру наибольших касательных напряжений 
.
Определим теперь углы закручивания сечений в точках A, C, D, B, последовательно. Предварительно формулам (4), (5), (7) необходимо вычислить моменты инерции сечений:
.
Левый конец стержня закреплён. Поэтому 
. Угол поворота сечения C равен углу закручивания первого участка. Значит,
Угол поворота сечения D состоит из двух слагаемых: 
, где 
– угол закручивания второго участка стержня. Подставляя, находим
Аналогично для сечения B имеем
Нулевого результата следовало ожидать, так как сечение B защемлено, и его угол поворота, разумеется, должен равняться нулю. По полученным данным строим эпюру углов закручивания 
.