Первый замечательный предел

или в, более общем, виде, .

Первый замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида в случае, если функция содержит тригонометрические выражения.

Второй замечательный предел

или в, общем, виде, .

Также полезна следующая форма записи второго замечательного предела

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида 1^¥.

Рассмотрим примеры:

1) ;

2)

.

5. Сравнение бесконечно малых

Мы отмечали свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма (конечного числа) бесконечно малых, произведение бесконечно малых есть бесконечно малая. О частном же бесконечно малых в этих свойствах ничего не говорилось. Оказывается, в зависимости от характера бесконечно малых, от скорости их стремления к нулю зависит и поведение их частного.

Рассмотрим, например, функции a(х) = х, b (х) = х ², g (х) = 2 х + х ², бесконечно малые при х ® 0. Имеем:

при х ® 0, , а ,

т.е. частое может быть и сколь угодно большим, и бесконечно малым, и стремиться к конечному числу. При этом, заметим, что функция b(х) = х ² быстрее стремится к нулю, чем, например, a(х) = х:

Определение 2.11.

Пусть a(х) и b (х) – бесконечно малые в точке х ₀ функции.

1) Если , то a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем b (х) и обозначается a = о(b).

2) Если , 0 < | A | < ¥, то a(х) и b (х) – бесконечно малые одинакового порядка, обозначается a = О(b) или b = О(a).

3) Если , 0 < | A | < ¥, то a(х) называется бесконечно малой порядка т в точке х ₀ (т ÎN). При этом функцию (х – х ₀) ^т называют эталоном бесконечно малых в точке х ₀.

4) Если , то a(х) и b (х) называются эквивалентными (асимптотически равными). Обозначается a ~ b.

Справедлива

Теорема 2.9.

Пусть a(х) и b (х) – бесконечно малые в точке х ₀ функции.

1) Если a ~ b, то a – b = о(b), a – b = о(a), a ~ b ± о(a), a ± о(b)~ b.

2) Если a = о(g), b = о(g), где g(х) – бесконечно малая в точке х ₀, то

a ± b = о(g), a ± о(b) = о(g).

3) Если a ~ a₁ , b ~ b₁ , где a₁(х) и b ₁(х) – бесконечно малые в точке х ₀, то

Доказательство:

1) Если a ~ b, то . Рассмотрим
, а это и означает, что a – b = о(b). Аналогично можно показать, что a – b = о(a).

Рассмотрим
,

откуда a ± о(b)~ b. Утверждение a ~ b ± о(a) – доказать самостоятельно.

2) – доказать самостоятельно.

3) Учитывая a ~ a₁ , b ~ b₁, имеем

=

= 1 1 = ЧТД.

Замечание.

Как следует из теоремы 2.9, если a ~ b, то a = b + о(b). В этом случае, бесконечно малую b называют главной частью бесконечно малой a.

Справедливы следующие соотношения (таблица эквивалентности):

при a® 0
sin a ~ a tg a ~ a ~	arcsin a ~ a arctg a ~ a ln(1+a) ~ a e a - 1 ~ a

Пользуясь этой таблицей и теоремой 2.9, можно вычислять сложные пределы:

,

.

Аналогично можно определить сравнение бесконечно больших функций. Пусть f (x) и g (x) – бесконечно большие в точке х ₀ функции. Тогда

1) Если , 0 < | A | < ¥, то функции f (x) и g (x) – одинакового порядка роста. Обозначается f (x) = О(g (x)) или g (x) = О(f (x))

2) Если , то f (x) – более высокого порядка роста, чем g (x), а g (x) – более низкого порядка роста, чем f (x), обозначается
g (x) = о(f (x)).

3) Если , то функции называются эквивалентными бесконечно большими. Обозначается f (x) ~ g (x).

Свойства, сформулированные в теореме 2.9, могут быть перенесены и на эквивалентные бесконечно большие функции.