Находятся критические точки и интервалы монотонности.

Отыскивается область определения функции.

Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. При нахождении области определения функции следует обращать внимание на выражения содержащие дроби, так как, знаменатель дроби не может обращаться в нуль. Следует обращать внимание на корни, так как, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Особое внимание следует обратить на логарифмы, входящие в выражение. Если функция содержит логарифм , то на область определения накладываются ограничения исходя из неравенств

Исследуются общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность.

Функция называется чётной, если . График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Функция называется нечётной, если . График нечётной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия). Если существует такое, что для любого выполняется условие , то функция называется периодической. Наименьшее из чисел , удовлетворяющих указанному условию, называют периодом. График периодической функции строят сначала на одном периоде, а потом копируют построенный участок вдоль всей оси .

Находятся точки пересечения графика функции с осями координат.

Абсцисса пересечение с осью ищется исходя из уравнения . Ордината пересечения с осью ищется подстановкой значения в выражение функции . Если пересечение с осью найти не удаётся, то обходятся без него.

Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и существует предел , который равен значению функции. То есть . Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка).

Точка является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки , а в самой точке не является непрерывной (хотя может быть определённой). В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке . Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода).

Ищутся асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая является вертикальной асимптотой.

График функции имеет наклонную асимптоту при , если существуют конечные пределы , . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: . Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет.

Если и существует конечный предел , то график функции имеет горизонтальную асимптоту и её уравнение .

Находятся критические точки и интервалы монотонности.

Для определения критических точек функции находят первую производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках или не существует. Определяют знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале , то функция возрастает. Если , то на данном интервале функция убывает. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то критическая точка – максимум, если с минуса на плюс, то критическая точка – минимум.