Примерные задачи
Для зачета по дисциплине
«Теория игр»
Часть 1. Матричные игры.
Задача 1.
Построить платежную матрицу 2-х пальцевой игры Мора. В игре участвуют два человека: каждый из них показывает один или два пальца и одновременно называет число пальцев, которое по его мнению, покажет его противник. Если один из игроков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником. В противном случае – ничья (выигрыш равен 0).
Определить тип игровой задачи. Построить платежную матрицу. Найти оптимальные стратегии игроков.
Задача 2.
Игрок А записывает числа 1 или 2, а игрок В: 1 или 2 или 3. Если оба числа одинаковой четности, то игрок А выигрывает и выигрыш равен сумме этих чисел. Если четности разные то В выигрывает и выигрыш равен сумме этих чисел.
Определить тип игровой задачи. Построить платежную матрицу. Найти оптимальные стратегии игроков, используя графический метод решения.
Задача 3.
Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона от 1 до 4. Если сумма чисел нечетная, игрок В платит игроку А сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок А
Определить тип игровой задачи. Построить платежную матрицу. Найти оптимальные стратегии игроков.
Задача 4.
Два игрока имеют по 4 руб. и предмет стоимостью 4 руб. Каждый игрок делает заявку в конверте, предлагая w рублей (где w-одно из целых чисел от 1 до 4) за предмет. Записавший большее число получает предмет и платит другому игроку предложенную сумму. Если оба игрока заявляют одинаковую сумму, то предмет назначается без компенсирующего одностороннего платежа одному из игроков путем бросания монеты, так что ожидаемая доля каждого игрока в предмете составляет в этом случае половину от 4 руб..
Определить тип игровой задачи. Построить платежную матрицу. Найти оптимальные стратегии игроков.
Задача 5.
Вводится в строй новая информационная система обработки информации (ИСОИ) состоящая из двух новых ПК типов А1 и А2, ориентированная на решение долгосрочных В1 и краткосрочных В2 задач. Известен экономический эффект от внедрения каждого типа ПК по сравнению с устаревшими ПК, который отражен в таблице
| В1 | В2 | |
| А1 | 0,3 | 0,8 |
| А2 | 0,7 | 0,4 |
Найти оптимальный режим работы каждой новой ПК при решении долгосрочных и краткосрочных задач.Применить графический метод решения.
Задача 6.
Фирма А с товарами А1, А2 и А3 и фирма В с товарами В1 и В2, сравнимыми по потребительским свойствам, начинают осваивать рынок. Известен экономический эффект для фирмы А, когда ее товары и товары фирмы В реализуются одновременно на рынке, который представлен в таблице
| В1 | В2 | |
| А1 | ||
| А2 | -2 | |
| А3 |
Найти оптимальные стратегии продажи для фирмы А, используя графический метод решения.
Задача 7.
Сбытовая компания А хочет построить АЗС в одном из трех районах города (А1,А2,А3).Но в этих районах ужеработают АЗС четырех других сбытовых компаний: В1,В2, В3, В4. Экономисты компании А рассчиталиприбыль в усл. ед., которая прогнозируется в сравнении с конкурентами в каждом из районов города и отразили ее в таблице
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | -2 | |||
| А2 | -1 | -2 | ||
| А3 | -1 |
Найти для фирмы А оптимальную стратегию строительства АЗС, сводя игровую задачук задаче линейного программирования.
Задача 8.
Малое предприятие выпускает три вида метизов (А1,А2,А3). Прибыль предприятия при реализации их населению зависит от спроса, который формируется в зависимости от доходов населения и может находится в следующих четырех состояниях (В1,В2, В3, В4). Прибыль предприятия при реализации каждого вида метизов в зависимости от состояний сбыта, приведена в таблице:
| В1 | В2 | В3 | В4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
Определить оптимальную стратегию малого предприятия при производстве метизов,сводя игровую задачук задаче линейного программирования.
Задача 9.
Для следующей платежной матрицы найти решение игровой задачи в чистых или смешанных стратегиях. В последнем случае свести игровую задачук задаче линейного программирования.
Задача 10.
Для следующей платежной матрицы найти решение игровой задачи в чистых или смешанных стратегиях. В последнем случае свести игровую задачу к задаче линейного программирования.
Задача 11.
Администрация фирмы ведет переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта. Профсоюз стремится максимизировать доходы рабочих и служащих, в то время как администрации хотелось бы минимизировать собственные потери.
Платежная матрица, отражающая интересы договаривающихся сторон, имеет следующий вид
Заданная матрица описывает прибыль профсоюза (игрок А) и затраты администрации фирмы (игрок В). Выплаты указаны в рублях в час и представляют собой среднюю зарплату служащего фирмы вместе со всеми надбавками. Найти оптимальное решение в смешанных стратегиях. Применить правило доминирования стратегий.
Задача 12.
Директор транспортной компании А, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует открыть один или несколько маршрутов: А1, А2, А3 и А4. Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит.от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент -компания В. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть несколько из пяти маршрутов В1, В2, В3, В4 и В5. Оценки прибыли компании А (млн. руб.) при любом ответе В представлена платежной матрицей:
| В1 | B2 | В3 | B4 | B5 | |
| А1 | |||||
| А2 | 8' | ||||
| А3 | |||||
| А4 |
Найти оптимальное решение игры, используя правило доминирования строк и столбцов. Определить оптимальное распределение автотранспорта компании А по маршрутам и соответствующую прибыль.
Задача 13.
Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов (А1, А2, А3); их реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что спрос может иметь три состояния (В1, В2, В3). Прибыль от продажи товаров каждого типа на 100 усл. ед. для каждого состояния спроса заданы в таблице
| B1 | В2 | В3 | |
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 |
Рассматривая эту таблицу как платежную матрицу игры магазина (игрок А) против спроса (игрок В), найти оптимальное решение игры в смешанных стратегиях. Свести задачу к эквивалентной задаче линейного программирования.
Часть 2. Игры с природой.
Задача 14
Предприятие выпускает обогреватели и кондиционеры, сбыт которых зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в теплую погоду реализует 1000 обогревателей и 6 000 кондиционеров; в холодную погоду – 4 000 обогревателей и 1 200 кондиционеров. Себестоимость обогревателя – 8 тыс. руб./шт; кондиционера – 5 тыс. руб./шт. Цена обогревателя в месяц изготовления 12тыс. руб./шт; позже – 3 тыс. руб./шт. Цена кондиционера в месяц изготовления – 8 тыс. руб./шт; позже – 2 тыс. руб./шт. На реализацию всей продукции расходуется 2 000 руб.
Определить тип игры. Найти оптимальную стратегию предприятия по выпуску продукции, обеспечивающую при любой погоде наибольшую прибыль.
Задача 15
На рынке смартфонов фирма А готовит к выпуску новую модель «Сириус». В тоже время конкурент, фирма В, готовит к выпуску тоже новую модель «Процион». Чтобы занять большую долю рынка перед руководством фирмы А стоит задача, когда выпускать на рынок новый смартфон: до конкурента (А1), вместе с ним (А2) или после него (А3). Пока не выйдет на рынок новая модель фирмы В мы не знаем будет ли она лучше модели фирмы А (В1), такой же (В2) или уступающей ей (В3) по электронной начинке, ОС, дизайну и внедренным новым технологиям. Очевидно, что ЛПР это фирма А, а «природа» - фирма В. Эксперты оценили, какую выручку можно ожидать при данных стратегиях фирмы А и состояний природы В, которую занесли в платежную матрицу
| В1 | В2 | В3 | |
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 |
Определить тип игры.Найти оптимальную стратегию выпуска на рынок смартфонафирмы А, обеспечивающую большую долю рынка при любом качестве смартфона фирмы В.
Задача 16
Компания производит йогурт. Вероятность того, что спрос на йогурт в течение месяца будет: 6,7,8,9 ящиков, равны, соответственно: 0,1,0,3,0,5,0,1. Затраты на производство 1 ящика равны 45$, а продается он по цене 95$. Если ящик не реализуется в течение месяца, то йогурт портится и компания не получает дохода.
Определить тип игры. Построить платежную матрицу. Определить оптимальную стратегию производства йогурта в течение месяца.
Задача 17
Малое предприятие производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. Вероятность продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляет соответственно 0,55; 0,1; 0,35. От продажи упаковки предприятие получает 750 руб. прибыли, а затраты на производство одной упаковки составляют 115 руб. Срок годности упаковки 1 мес.
Определить тип игры. Построить платежную матрицу. Какова оптимальная стратегия производства косметики.
Задача 18
В регионе необходимо построить электростанцию. Стратегии ЛПР следующие:
А1 – гидроэлектростанция;А2 – ТЭЦ на газе;А3 – АЭС. Экономическая эффективность в усл. ед. рассчитана проектным НИИ, при этом случайные факторы от которых зависит эффективность, объединены в четыре состояния природы: П1 – Цены на газ низкие, климат благоприятный;П2 – Цены на газ высокие, климат благоприятный;П3 – Цены на газ низкие, климат не благоприятный;П4 – Цены на газ высокие, климат не благоприятный Платежная матрица представленная НИИ имеет вид:
| П1 | П2 | П3 | П4 | |
| А1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 |
Определить оптимальную стратегию ЛПР при строительстве электростанции в режиме полной неопределенности и при равновероятных состояниях природы.
Задача19.
Сельхозпредприятие определяется со стратегией распределения посевных площадей под следующие культуры:пшеница (А1), ячмень(А2), овес (А3), сахарная свекла (А4), картофель(А5). Урожайность этих культур (ц/га) в зависимости от погодных условий: слабые осадки (В1), среднегодовая норма осадков (В2),сильные осадки (В3) представлена в таблице:
| ц/га | В1 | В2 | В3 |
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| А4 | |||
| А5 |
Прогнозируемые цены (руб./ц) на урожай при данных погодных условиях прогнозируются на следующем уровне.
| руб./ц | В1 | В2 | В3 |
| А1 | |||
| А2 | |||
| А3 | |||
| А4 | |||
| А5 |
Из многолетних наблюдений за погодой вероятность состояния погоды в рассматриваемый период следующая: В1-0,2;В2-0,45;В3-0,35
Необходимо определить пропорции, в которых фермер должен засеять имеющийся участок земли, чтобы получить максимальный гарантированный доход вне зависимости от того, какие погодные условия будут реализованы.
Задача 20.
Предприятие может выпускать 4 вида продукции: А1 А2, А3, А4, получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса (природой рынка), который может находиться в одном из четырёх возможных состояний: В1 В2, В3, В4. Зависимость величины прибыли от вида продукции и состояния рынка представлено в таблице:
| Виды продукции | Возможные состояния рынка спроса | |||
| B1 | В2 | В3 | В4 | |
| A1 | ||||
| А2 | ||||
| А3 | ||||
| А4 |
Необходимо определить оптимальные пропорции выпускаемых предприятием видов продукции, продажа которой обеспечила бы ему максимально возможную выручку вне зависимости от того, какое состояние спроса будет реализовано.