Постановка задачи.
Даны напряжения 
.
1. Определить главные напряжения 
и их направляющие косинусы.
2. Проверить правильность вычислений.
3. Построить эллипсоид напряжений.
Исходные данные:
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -23,56 | 23,26 | 61,22 | 64,41 | 68,15 | 45,23 |
Все напряжения даны в МПа.
Решение
Главные напряжения и их направляющие косинусы определяются из системы однородных уравнений
,
что сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы
.
Собственные значения данной матрицы, расположенные в порядке их убывания есть главные напряжения , а собственные векторы содержат направляющие косинусы данных напряжений:
.
Правильность полученных напряжений проверяется вычислением определителей матриц
(определители данных матриц должны иметь нулевые значения), а также подстановкой в уравнение
,
где 
- инварианты напряженного состояния:
;
.
Правильность вычисления направляющих косинусов напряжений проверяется выполнением условий
.
Данные условия можно представить в матричной форме:
.
Эллипсоид напряжений - геометрическое место концов векторов полных напряжений, полуосями которого являются главные напряжения :
.
Здесь 
- компоненты полного напряжения.
Вычисления проведены по программе TISM_2, составленной на языке программирования математического пакета MATLAB R2012b.
Function TISM_2
% ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
% Описание исходных данных:
% sx,sy,sz,txy,tyz,tzx - нормальные и
% касательные напряжения в МПа.
clc; clear; close all;
sx=-23.56; sy=23.26; sz=61.22;
txy=64.41; tyz=68.15; tzx=45.23;
tyx=txy; tzy=tyz; txz=tzx;
% Формирование матрицы напряжений SIGMA, определение
% главных напряжений s1,s2,s3 и векторов b1,b2,b3,
% содержащих направляющие косинусы данных напряжений
SIGMA=[sx tyx tzx
Txy sy tzy
txz tyz sz];
[b,s]=eig(SIGMA);
s1=s(3,3);
s2=s(2,2);
s3=s(1,1);
b1=b(:,3);
b2=b(:,2);
b3=b(:,1);
% Проверка полученных значений главных напряжений s1,s2,s3
% вычислением определителей матриц A1,A2,A3:
A1=[sx-s1 tyx tzx
Txy sy-s1 tzy
txz tyz sz-s1];
A2=[sx-s2 tyx tzx
Txy sy-s2 tzy
txz tyz sz-s2];
A3=[sx-s3 tyx tzx
Txy sy-s3 tzy
txz tyz sz-s3];
det1=det(A1);
det2=det(A2);
det3=det(A3);
% Проверка полученных значений главных напряжений s1,s2,s3
% подстановкой их в уравнение s^3-s^2*I1+s*I2-I3=0: где
% s=s1,s2,s3; I1,I2,I3 - инварианты напряженного состояния
I1=sx+sy+sz;
I2=sy*sz+sz*sx+sx*sy-tyz^2-tzx^2-txy^2;
I3=det(SIGMA);
z1=s1^3-s1^2*I1+s1*I2-I3;
z2=s2^3-s2^2*I1+s2*I2-I3;
z3=s3^3-s3^2*I1+s3*I2-I3;
% Проверка направляющих косинусов напряжений s1,s2,s3
% выполнением условий bi'*bi=1; bi'*bj=0 (i=1;2;3, j~=i)
b11=b1'*b1;
b22=b2'*b2;
b33=b3'*b3;
b12=b1'*b2;
b23=b2'*b3;
b31=b3'*b1;
% Вывод результатов в файл TISM_2_rez.txt
rez=fopen('TISM_2_rez.txt','wt');
fprintf(rez,'%s\n','Результаты выполнения программы');
fprintf(rez,'%s\n','===============================');
fprintf(rez,'%s\n','Главные напряжения s1,s2,s3 в МПа:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','s1=',s1);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','s2=',s2);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','s3=',s3);
fprintf(rez,'%s\n','');
fprintf(rez,'%s\n','Направляющие косинусы');
fprintf(rez,'%s\n','напряжения s1:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','l1=',b1(1));
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','m1=',b1(2));
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','n1=',b1(3));
fprintf(rez,'%s\n','');
fprintf(rez,'%s\n','Направляющие косинусы');
fprintf(rez,'%s\n','напряжения s2:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','l2=',b2(1));
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','m2=',b2(2));
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','n2=',b2(3));
fprintf(rez,'%s\n','');
fprintf(rez,'%s\n','Направляющие косинусы');
fprintf(rez,'%s\n','напряжения s3:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','l3=',b3(1));
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','m3=',b3(2));
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','n3=',b3(3));
fprintf(rez,'%s\n','');
fprintf(rez,'%s\n','Определители матриц A1,A2,A3:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','det1=',det1);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','det2=',det2);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','det3=',det3);
fprintf(rez,'%s\n','');
fprintf(rez,'%s\n','Левая часть уравнения');
fprintf(rez,'%s\n','s^3-s^2*I1+s*I2-I3=0');
fprintf(rez,'%s\n','при s=s1,s2,s3:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','z1=',z1);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','z2=',z2);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','z3=',z3);
fprintf(rez,'%s\n','');
fprintf(rez,'%s\n','Скалярные произведения bij=bi*bj:');
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','b11=',b11);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','b22=',b22);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','b33=',b33);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','b12=',b12);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','b23=',b23);
fprintf(rez,'%s %8.4f\n','b31=',b31);
fclose(rez);
% Построение эллипсоида напряжений
a=abs(s1);
b=abs(s2);
c=abs(s3);
h=pi/12;
dx=a/12;
set(gcf,'Color',[1 1 1])
for i=1:13
for k=1:25
x(k)=-a+dx*(k-1);
bs=b*sqrt(1-x(k)^2/a^2);
cs=c*sqrt(1-x(k)^2/a^2);
alfa=h*(i-1);
y(k)=bs*cos(alfa);
z(k)=cs*sin(alfa);
End
Plot3(x,y,z,'m')
Xlabel('1')
Ylabel('2')
Zlabel('3')
Grid on
Hold on
Plot3(x,y,-z,'m')
End
for k=1:25
for i=1:13
xs(i)=-a+dx*(k-1);
bs=b*sqrt(1-xs(i)^2/a^2);
cs=c*sqrt(1-xs(i)^2/a^2);
alfa=h*(i-1);
ys(i)=bs*cos(alfa);
zs(i)=cs*sin(alfa);
End
Plot3(xs,ys,zs,'b')
Plot3(xs,ys,-zs,'b')
End
os1=plot3([-a a],[0 0],[0 0],'k');
os2=plot3([0 0],[-b b],[0 0],'k');
os3=plot3([0 0],[0 0],[-c c],'k');
Set(os1,'LineWidth',1.5)
Set(os2,'LineWidth',1.5)
Set(os3,'LineWidth',1.5)
disp('Результаты находятся в файле TISM_2_rez.txt');
Результаты выполнения программы
====================Главные напряжения s1,s2,s3 в МПа:
s1= 146.6565
s2= -17.0021
s3= -68.7344
Направляющие косинусы
напряжения s1:
l1= -0.4090
m1= -0.5954
n1= -0.6915
Направляющие косинусы
напряжения s2:
l2= -0.4202
m2= -0.5497
n2= 0.7219
Направляющие косинусы
напряжения s3:
l3= -0.8100
m3= 0.5859
n3= -0.0253
Определители матриц A1,A2,A3:
det1= -0.0000
det2= -0.0000
det3= -0.0000
Левая часть уравнения
s^3-s^2*I1+s*I2-I3=0
при s=s1,s2,s3:
z1= 0.0000
z2= 0.0000
z3= 0.0000
Скалярные произведения bij=bi*bj:
b11= 1.0000
b22= 1.0000
b33= 1.0000
b12= -0.0000
b23= 0.0000
b31= 0.0000
Эллипсоид напряжений