Корреляционная зависимость.




Определение

Пусть есть вероятностное пространство и — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть фиксировано . Тогда -квантилью (или квантилью уровня ) распределения называется число , такое что

Выборочные характеристики распределения

Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, т.е. сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленную на ее объем:

где n – объем выборки, xi – результат измерения (испытания) i-ого элемента выборки.

Другой вид выборочного среднего – выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики.
Порядковые статистики – это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборкиx1, x2,…, xn расположить в порядке неубывания:

х(1)<x(2)<<x(k)<<x(n). В ряде вероятностно-статистических методов применяют и иные показатели рассеивания. В частности, в методах статистического регулирования процессов используют средний размах – среднее арифметическое размахов, полученных в определенном количестве выборок одинакового объема. Популярно и межквартильное расстояние, т.е. расстояние между выборочными квартилями x([0,75n]) иx([0,25n]) порядка 0,75 и 0,25 соответственно, где [0,75n] – целая часть числа 0,75n, а [0,25n] –целая часть числа 0,25n.

2)Точечные и интервальные оценки.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов - ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.
ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА - оценка имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:

 

X = (x1+x2+...+xn)/n,

где: X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);
x1,x2,...xn - выборочные значения; n - объем выборки.
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА - оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра. Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МОменьше 3 или больше 8 не превышает 0,05.
Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует - ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.
Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

Xmin = X - T(ν,P)*S/(n)1/2

 

Xmax = X + T(ν,P)*S/(n)1/2

 

где: Xmin, Xmax - нижняя и верхняя границы интервала;
X - среднее арифметическое (точечная оценка МО);
n - объем выборки;
T(ν,P) - поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятностиp и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

S = [(x1 - X)2 + (x2 - X)2 + ... + (xn - X)2]1/2 - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X

ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ СТАТИСТИКИ - число независимых случайных величин, по которым вычисляется данная статистика. Например, при вычислении среднего арифметического все случайные величины в выборке x1,x2,...,xn независят друг от друга. В оценке S из nотклонений вида (xi - X)2 независимы только n-1 (т.к. в формуле присутствует X, то по любому набору n-1 отклонений вычисляется n-ое). Доверительные интервалы для нормального распределения

Говорят, что статистики образуют границы точного доверительного интервала для уровня , если

Утверждения предыдущего раздела позволяют нам построить такие интервалы в случае, когда X - выборка из .

Доверительные интервалы для математического ожидания.
Согласно следствию 12 случайная величина имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы. Найдем по заданному из таблиц на странице такое , что

Это означает, что неравенство будет выполнено с вероятностью . Разрешая последнее неравенство относительно a, получим

а следовательно, границы искомого доверительного интервала задаются формулой

При расчете этих границ мы не пользуемся никакой информацией кроме той, что содержится в самой выборке. Естественно, что если мы знаем, например, чему равна дисперсия, то ширину интервала (9) можно уменьшить, используя это значение вместо оценки S. Это можно сделать, опираясь на теорему 5 .

По таблицам нормального распределения на стр можно найти такое , что

Тогда по следствию 3 и значит, поскольку , то имеет место равенство

Решая неравенство под знаком вероятности относительно a, получим

или

Интервал (10) явно уже, чем (9). Итак, если откуда-то нам известно, то границы доверительного интервала находим по формуле (10), иначе - по формуле (9).

Доверительные интервалы для дисперсии.
Если мы введем обозначение , то согласно теореме 7 . По таблицам распределения на стр найдем такие , что

Это можно сделать многими способами, но обычно исходят из условий

Разрешая двойное неравенство под знаком вероятности относительно , имеем

или

Опять-таки, если известно, чему равно a, то вместо теоремы 7 мы можем воспользоваться теоремой 6 , определить на этот раз по таблице как критические точки уровней и соответственно, и получить

Границами доверительного интервала здесь будут

Ошибка в определении a для расчета (12) чревата гораздо более серьезными последствиями, чем неверно определенное в (10). Там ошибка могла сказаться лишь на ширине интервала с неизменным центром для (9) и (10) , а интервалы (11) и (12) могут даже оказаться непересекающимися.

3) Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой неизвестно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . Впоследовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной Этапы проверки статистических гипотез

Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.

Расчёт статистики критерия такой, что:

её величина зависит от исходной выборки ;

по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ;

сама статистика должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама является случайной в силу случайности .

Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.

Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .

[править]Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий .

Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .

III коррляционный анализ

Корреляционная зависимость.

Условимся обозначать через Х независимую переменную. а через У—зависимую переменную.

Зависимость величины Y от Х называется функциональной. если каждому значению величины Х соответствует единственное значение величины У.

Обратим внимание на то, что если Х—детерминированная величина (т. е. принимающая вполне определенные значения), то и функционально зависящая от нее величина У тоже является детерминированной; если же X— случайная величина, то и У также случайная величина.

Однако гораздо чаще в окружающем нас мире имеет место не функциональная, а

стохастическая, или вероятностная, зависимость, когда каждому фиксированному значению независимой переменной Х соответствует не одно, а множество значений переменной У, причем сказать заранее, какое именно значение примет величина У, нельзя.

Более частое появление такой зависимости объясняется действием на результирующую переменную не только контролируемого или контролируемых факторов (в данном случае таким контролируемым фактором является переменная X), а и многочисленных неконтролируемых случайных факторов. В этой ситуации переменная У является случайной величиной. Переменная же Хможет быть как детерминированной, так и случайной величиной.

Если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то стохастическая зависимость называется корреляционной.

Приведем пример такой зависимости: пусть У – урожай зерна, Х – количество удобрений. С одинаковых по площади участков при равном количестве внесенных удобрений снимают разный урожай. Т.е. У не является функцией от Х. это объясняется влиянием случайных факторов: осадки, температура и т.п. Но опыт показывает что средний урожай является функцией от количества удобрений, У связан с Х корреляционной зависимостью: изменяя количество вносимых удобрений, изменяется и средний урожай, т.е. математическое ожидание величины У изменяется при изменении значения Х. Такое математическое ожидание называется условным и обозначается М( У/ Х= х) и читается: математическое ожидание СВУ при условии, что Х =х.

Тогда можно считать: корреляционная зависимость имеет место, если при изменении х изменяется условное математическое ожидание У.

Аналогично вводится понятие условного математического ожидания для СВХ.

g(x) =М(У/Х=х) и f(y) = М(Х/У=у) – называются функциями регрессии, а линию на плоскости, соответствующую этому уравнению – линией регрессии соответственно У на Х и Х на У. Эта линия показывает, как в среднем зависит У от Х или Х от У. Выборочный коэффициент корреляции

Понятие корреляции является одним из основных понятий теории вероятностей и математической статистики, оно было введено Гальтоном и Пирсоном.

Закон природы или общественного развития может быть представлен описанием совокупности взаимосвязей. Если эти зависимости стохастичны, а анализ осуществляется по выборке из генеральной совокупности, то данная область исследования относится к задачам стохастического исследования зависимостей, которые включают в себя корреляционный, регрессионный, дисперсионный и ковариационный анализы. В данном разделе рассмотрена теснота статистической связи между анализируемыми переменными, т.е. задачи корреляционного анализа.

В качестве измерителей степени тесноты парных связей между количественными переменными используются коэффициент корреляции (или то же самое "коэффициент корреляции Пирсона") и корреляционное отношение.

Пусть при проведении некоторого опыта наблюдаются две случайные величины и , причем одно и то же значение встречается раз, раз, одна и та же пара чисел ( наблюдается раз. Все данные записываются в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Выборочная ковариация величин и определяется формулой

 

Парная регрессия

Построение модели парной регрессия (или однофакторная модель) заключается в нахождении уравнения связи двух показателей у и х, т.е. определяется как повиляет изменение одного показателя на другой.

В задачах по эконометрике основным этапом является нахождение параметров модели и оценке их качества. Уравнение модели парной регрессииможно записать в общем виде:

где у - зависимый показатель (результативный признак);

х - независимый, объясняющий фактор.

 

2)Нелинейная регрессия — частный случай регрессионного анализа, в котором рассматриваемая регрессионная модель есть функция, зависящая от параметров и от одной или нескольких свободных переменных. Зависимость от параметров предполагается нелинейной

3) Множественная корреляция занимается изучением, измерении связи между результативным признаком, двумя и более факторными. Множественная корреляция определяет:

1. форму связи;

2. тесноту связи;

3. влияние отдельных факторов на общий результат.

Определение формы связи сводится обычно к отысканию уравнения связи у с факторами х, z, ω, ..., ν. Так, линейное уравнение зависимости результативного признака от двух факторных определяется по формуле:Yxz=a0 + a1x + a2z

После получения коэффициентов регрессии нужно измерить тесноту связи между факторными и результативным признаками для полученной модели. Измерение тесноты производится на основе вариации результативного признака и правила сложения дисперсий: Коэффициент множественной корреляции : где rxy, rzy, rxz – парные коэффициенты корреляции.

5 математическое программирование

1.Свойства основной задачи линейного программирования. Геометрическое истолкование задачи линейного программирования

Рассмотрим основную задачу линейного программирования. Она состоит в определении максимального значения функции при условиях

Перепишем эту задачу в векторной форме: найти максимум функции

F=CX (15)

при условиях

(16)

(17)

где , CX – скалярное произведение; и m-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы уравнений задачи:

Определение 7.

План называется опорным планом, основной задачи линейного программирования, если система векторов , входящих в разложение (16) с положительными коэффициентами линейно независима.

Так как векторы являются m-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может быть больше, чем т.

Определение 8.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно т положительных компонент, в противном случае он называется вырожденным.

Свойства основной задачи линейного программирования (15) – (17) тесным образом связаны со свойствами выпуклых множеств.

Определение 9.

Пусть – произвольные точки евклидова пространства . Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма где – произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна 1:

Определение 10.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию.

Определение 11.

Точка Х выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух других различных точек данного множества.

Теорема 1.

Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым (если оно не пусто).

Определение 12.

Непустое множество планов основной задачи линейного программирования называетсямногогранником решений, а всякая угловая точка многогранника решений – вершиной.

Теорема 2.

Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное значение целевая функция задачи принимает в одной из вершин многогранника решений. Если максимальное значение целевая функция задачи принимает более чем в одной вершине, то она принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин.

Теорема 3.

Если система векторов в разложении (16) линейно независима и такова, что

(18)

где все то точка является вершиной многогранника решений. Каноническая форма задач линейного программирования


В каждой задаче ЛП ищутся значения переменных при условии, чтобы:

эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;

при этих значениях целевая функция обращалась бы в минимум или максимум.


Одним из универсальных методов ЛП является симплексный метод, который, однако, можно применять, если задача ЛП имеет каноническую форму.

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.
Примером такой задачи ЛП в канонической форме является задача 1 – сбалансированная транспортная задача с системой ограничений (1) и целевой функцией (2).
Однако в большинстве экономических задач чаще всего в систему ограничений первоначально входят не только уравнения, а и неравенства.

Утверждение. Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме.
Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных.

2) Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Симплекс-метод – один из наиболее эффективных методов численного решения задач ЛП. Суть понятия «симплекс» заключается в следующем. Для тела в k -мерном пространстве симплексом называется множество, состоящее из k +1 вершин этого тела. Так, при k = 2, т.е. на плоскости, симплексом будут вершины треугольника; при k = 3 симплексом являются вершины четырехгранника, например тетраэдра, и т.д. Такое название методу дано по той причине, что в его основе лежит последовательный перебор вершин ОДЗП с целью определения координат той вершины, в которой функция цели имеет кстремальное значение.

Решение задачи с помощью симплекс-метода разбивается на два основных этапа.На первом этапе находят одно из решений, удовлетворяющее системе ограничений . Системы, в которых переменных больше, чем ограничений N > m, называются неопределенными. Они приводятся к определенным системам (N = m) путем приравнивания к нулю N-m каких-либо переменных. При этом остается система m уравнений с m неизвестными, которая имеет решение, если определитель системы отличен от нуля. В симплекс-методе вводится понятие базисных переменных, или базиса. Базисом называется любой набор из m таких переменных, что определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных в m-ограничениях, отличен от нуля. Остальные N-m переменных называются небазисными, или свободными переменными. Если принять, что все небазисные переменные равны нулю, и решать систему ограничений относительно базисных переменных, то получим базисное решение.

В системе из m уравнений с N неизвестными общее число базисных решений при N > m определяется числом сочетаний

3) Двойственная задача линейного программирования.

Важную роль в линейном программировании имеет понятие двойственности. Рассмотрим две задачи линейного программирования:

max{F(x) = CT x| Ax≤B, xi≥0, i =1,n} (1)

и

min{F(y) = BT y| AT y≥C, yj ≥0, j = 1,m}. (2)

Задачу (1) называют прямой, а связанную с ней задачу (2) – двойственной. Вместе они образуют симметрическую пару двойственных задач. Число переменных двойственной задачи равно количеству ограничений прямой. Кроме того, при переходе от прямой задачи к двойственной вектора B и C меняют местами, матрица A коэффициентов системы ограничений прямой задачи транспонируется, а знак неравенств в ограничениях меняют на противоположный. Смысл экстремума F(x) противоположен смыслу экстремума F(y) . Связь между задачами (1) и (2) взаимна, т.е. если прямой считать задачу (2), то в качестве двойственной ей будет соответствовать задача (1). Возможность перехода от прямой задачи к двойственной (и наоборот) устанавливается теоремой двойственности: если одна из задач (1) или (2) имеет оптимальное решение, то и другая также имеет оптимальное решение, причем оптимальные значения функции цели прямой и двойственной задач совпадают, т.е. max F(x) = min F( y) .

4) Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.[1][2] Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки. Транспортная задача является по теории сложности вычислений NP-сложной и входит в класс сложности NP. Когда суммарный объём предложений (грузов, имеющихся в пунктах отправления) не равен общему объёму спроса на товары (грузы), запрашиваемые пунктами потребления, транспортная задача называется несбалансированной (открытой). Метод потенциалов

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.

Общая схема отдельной итерации такова.

По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соответствуют числа ui, пунктам Bj - числа vj. Они выбираются таким образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij - стоимости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок является решением задачи. В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи.

 

Рассмотрим подробнее процесс определения потенциалов текущего плана транспортной задачи. Потенциал первого пункта потребления принимаем равным нулю

Теперь, зная его, мы можем определить потенциалы для всех пунктов производства, связанных с первым пунктом ненулевыми перевозками.

Для свободных клеток транспортной таблицы вычисляются величины

называемые разностями потенциалов. В таблице они выписаны для всех небазисных клеток под ценами.

Разность потенциалов можно трактовать как увеличение цены продукта при его перевозке из пункта i в пункт j.

Процесс «улучшения» плана состоит в определении вводимой и выводимой клеток, в чем прослеживается содержательная аналогия с соответствующими пунктами симплекс-процедур.

Выводимая клетка определяется с помощью так называемой цепочки преобразования плана, описывающей характер перераспределения грузовых потоков. В соответствии со свойствами транспортной задачи для невырожденного базисного плана в текущей таблице можно образовать замкнутую цепочку, состоящую только их вертикальных и горизонтальных звеньев, одной из вершин которой является выбранная свободная клетка, а остальные — занятые клетки.

В построенной цепочке, начиная с вводимой клетки (которая считается первой), помечаются вершины: нечетные — знаком «+», а четные знаком «—». Знаком «+» отмечаются те клетки, в которых объемы перевозок должны увеличиться (таковой, в частности, является клетка, вводимая в план, поскольку она должна стать базисной). Знаком «—» — те клетки, в которых перевозки уменьшаются с целью сохранения баланса. Среди множества клеток, помеченных знаком «—», выбирается клетка с наименьшим значением.

 

6.приложение математического анализа в экономике

1)Производственная функция, также функция производства — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количествопродукции) и факторами производства, (затраты ресурсов, уровень технологий и др.) может выражаться как множество изоквант.[1]

Агрегированная производственная функция может описывать объёмы выпуска народного хозяйства в целом.

В зависимости от анализа влияния факторов производства на объём выпуска в определённый момент времени или в разные промежутки времени производственные функции делятся на статические: и динамические: . Фондоотдача (см. Фонд), выпуск продукции на единицу стоимости производственных основных фондов (основного капитала). В социалистической экономике показатель Ф. характеризует уровень эффективности использования производственных основных фондов. Широко применяется при экономическом анализе, обосновании планов производства и капитального строительства в целом по народному хозяйству и по отдельным отраслям, производственным объединениям, предприятиям. При расчётах Ф. в целом по народному хозяйству используются данные о валовом общественном продукте и о произведённом национальном доходе, а по отдельным отраслям = о валовой (товарной) или чистой продукции.

Функция издержек.

Функция издержек показывает зависимость между общими издержками (ТС) и используемыми ресурсами:

TC=f (K, L) – графически эта функция представлена в виде прямой, изокосты. Предельные издержки () — это издержки, связанные с производством дополнительной единицы продукции.

MC = ΔTC / ΔQ

Предельные издержки отражают изменения в издержках, которые повлечет за собой увеличение или уменьшение производства на одну единицу.

Сравнение средних и предельных издержек производства — важная информация для управления фирмой, определяющая оптимальные размеры производства. В точке В цена предложения совпадает со средними и предельными издержками. Эта точка означает равновесие фирмы. Средние издержки

Для того чтобы более четко определить возможные объемы производства, при которых фирма ограждает себя от чрезмерного роста издержек производства, исследуется динамика средних издержек.

Если валовые издержки отнести к количеству выпускаемой продукции , получим средние издержки (кривая ).

 

Именно такой вид кривой средних издержек определяется следующими обстоятельствами:

 

Средние издержки различают:

Средние постоянные ( )

Средние переменные ( )

Средние общие совокупные( )

Средние постоянные издержки — представляют собой постоянные затраты, приходящиеся на единицу продукции.

Средние переменные издержки - представляют собой переменные затраты, приходящиеся на единицу продукции.

В отличие от средних постоянных, средние переменные издержки могут как сокращаться, так и увеличиваться по мере роста объемов выпуска, что объясняется зависимостью совокупных переменных издержек от объема производства. Cредние переменные издержки !!АVC?? достигают своего минимума при объеме, обеспечивающем максимальное значение среднего продукта .

Докажем это положение:

...





Читайте также:
Общие формулы органических соединений основных классов: Алгоритм составления формул изомеров алканов...
Решебник для электронной тетради по информатике 9 класс: С помощью этого документа вы сможете узнать, как...
Книжный и разговорный стили речи, их краткая характеристика: В русском языке существует пять основных...
Средневековье: основные этапы и закономерности развития: Эпоху Античности в Европе сменяет Средневековье. С чем связано...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.084 с.