Уточним постановку задачи.

Схема исследования функции на экстремум

1. Находим частные производные функции нескольких переменных по всем переменным и приравниваем их к нулю.

2. Определяем стационарные точки функции, т.е. те в которых частные производные по всем переменным равны нулю или хотя бы одна из них не существовала.

3. Используя достаточное условие экстремума делаем заключение о наличии или отсутствии экстремума в критических точках.

Правило определения экстремума двух переменных.

Чтобы определить экстремум (двух переменных) следует:

1. Определить стационарные точки в которых функция может достигать экстремума, для чего решаем систему уравнений

или

2. Находим вторые частные производные , , или , , .

3. Вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через , , .

4. Составляем выражение

При этом,

а) Если , то экстремум в стационарной точке есть

I. Если (или ), то будет минимум

II. Если (или ), то будет максимум

б) Если , то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет

в) Если , то имеет место сомнительный случай и для заключения об экстремуме требуется воспользоваться частными производными порядка выше второго.

Пример. Исследовать на экстремум .

Нам известно для функции двух переменных (1)

Условие (1) является необходимым условием экстремума.

Достаточные условия экстремума для функции выражаются с помощью определителя , где , , , а именно

1. Если , то - точка экстремума

а) Если (или ), то будет минимум

б) Если (или ), то будет максимум

2. Если , то в точке экстремума нет

3. Если , то требуется дополнительные исследования функции, например, по знаку приращения вблизи этой точки.

1. Находим частные производные 1го и 2го порядка:

2. Обращаем в ноль все первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек.

Разбиваем данную систему на две:

А)

В)

Решаем систему А)

. ,

Решаем систему В)

- комплексные корни. Не принимаем во внимание.

Получены две критические точки и .

Вычисляем значения производных второго порядка в этих точках и находим определитель.

, ,

Т.к. в точке нет экстремума (из достаточных условий)

, ,

Т.к. и , то в точке функция имеет максимум, причем

Условный (несвободный) экстремум.

Ранее мы рассматривали локальные экстремумы. Рассмотрим задачу об определении экстремума функции нескольких переменных при наличии дополнительных условий (уравнений связи). Эта задача носит название задачи об условном (относительном) экстремуме.

Пусть на множестве задана функция , . На также определены функции ().

Задача. Найти экстремум при наличии дополнительных условий (уравнений связи)

(1)

Пусть , .

Матрица Якоби

При - определитель Якоби (Якобиан).

Уточним постановку задачи.

Обозначим

Пусть , () определены на , , - множество решений системы (1). называется точкой условного экстремума при выполнении уравнений (1) - точка локального экстремума на .

Замечание. Условный максимум (минимум) – это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки (), а только к тем из них, которые связаны между собой уравнениями связи.

Предположим теперь, что

1) , ;

Из условия 2) следует, что один из миноров порядка матрицы Якоби .

Пусть этот минор

Тогда согласно теореме о существовании неявных функций в

Причем ,

Рассмотрим сложную функцию

- точка условного экстремума функции при условии 1) - точка локального экстремума функции .

Доказательство.

Доказательство следует из того, что из теоремы о неявных функциях, условия 1) и 2) – эквиваленты.

дает метод отыскания условного экстремума, когда уравнения (2) могут быть найдены явно, что не всегда возможно. Отметим далее, что строим матрицу Якоби – координаты градиентов , т.е. условие условие независимости строк условие независимости , т.е. из условия:

Можно также рассмотреть

Пусть

Тогда - стационарная точка для функции .

(3)

Очевидно (3) условие зависимости

В скалярном виде оно эквивалентно.

(4)

Рассмотрим функцию

, (5)

(5) – функция Лагранжа, - множитель Лагранжа

Условия (4) – эквивалентны условию стационарной функции Лагранжа

(6)

Т.е. , причем

Следствие. (Необходимое условие существования условного экстремума)

При указанных условия. Если - точка условного экстремума, то - стационарная для функции Лагранжа.

Доказательство.

- условный экстремум - стационарная точка функции (3) , т.е. , (6)

Т.о. для отыскания точек, подозрительных на условный экстремум необходимо найти решение следующей системы:

(7)

где , . Следовательно уравнений относительно - неизвестных.

Замечание 1. Найдем дифференциалы в системе (1)

(8)

Для дальнейшего видно, что дифференциалов можно найти из (8), т.к. .

Замечание 2. Пусть ,

где (при ) открытое множество.

Пусть множество является « » мерным пространством . Рассмотрим отображение , где

, причем и некоторые постоянные. Тогда для локального условного экстремума функции на множестве имеем при некотором выборе постоянных . Тем самым задача об отыскании условных экстремумов сводится к решению следующей системы « » уравнений с « » неизвестными

где , .

Th 3 (Достаточное условие существования условного экстремума)

Пусть

3) - стационарная точка для функции Лагранжа.

Тогда

а) - условный минимум

б) - условный максимум.

Пример 1. Найти условный экстремум функции при условии .

Решение.

1й способ.

Составим функцию Лагранжа.

Найдем стационарные (критические) точки, решив систему уравнений:

- критическая точка

Но . Тогда точка - точка условного минимума.

Проверить, что для исходной функции точка не является минимумом.

2й способ. (Возможен не всегда)

- минимум.

Пример 2. Найти условный экстремум функции на прямой

Решение.

1) Составим функцию Лагранжа:

, , . В точке - это есть знакопеременная квадратичная форма. Следовательно, точка не экстремальная точка функции , но эта точка может быть экстремальной точкой функции при условии связи . Из этого условия связи имеем .учитывая это соотношение для получаем:

- отрицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно, точка является точкой локального максимума функции из условия связи .

Пример 3. Исследуем, имеет ли функция условный экстремум в точке , если (*).

Решение.

Составляем функцию Лагранжа

Координаты критической точки должны удовлетворять системе:

(1)

По проверке убеждаемся, что при , , , - решение системы (1)

В точке возможен условный экстремум функции с условием связи (*), причем .

Находим второй дифференциал функции Лагранжа

В силу условий связи

Поэтому при , , имеем:

в точке

Т.к. в этой точке является отрицательно определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет локальный максимум. Следовательно, точка есть точка условного максимума функции при условии функции связи (*).

Пример 4. Найти extr. f. f(x,y,z)=