ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2. Исследование параметров неординарных потоков требований

 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Потоком требований (событий) называется последовательность однородных тре­бований, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени. Примеры: поток вызовов на телефонной станции; прибытие поездов на станцию; поток сбоев ЭВМ; поток заявок на проведение регламентных работ в вычислительном центре и т.п.

Потоки требований имеют такие свойства, как стационарность, ординарность и от­сутствие последействия.

Свойство стационарности означает, что с течением времени вероятностные харак­теристики потока не меняются. Поток можно назвать стационарным, если для любого числа k требований, поступивших за промежуток времени длиной дt, вероятность по­ступления требований зависит только от величины промежутка и не зависит от его рас­положения на оси времени.

Свойство ординарности означает практическую невозможность группового посту­пления требований. Поэтому поток требований можно назвать ординарным тогда, когда вероятность поступления двух или более требований за любой бесконечно малый про­межуток времени Δt есть величина бесконечно малая более высокого порядка, чем △t.

Свойство отсутствия последействия означает независимость вероятностных ха­рактеристик потока от предыдущих событий. Иными словами, вероятность поступления k требований в промежуток [t₁,t₂] зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания требований до момента t_1.

К основным характеристикам случайного потока относят ведущую функцию и ин­тенсивность.

Ведущая функция случайного потока есть математическое ожидание числа требований в промежутке [0, t). Функция - неотрицательная, неубывающая и в практических задачах теории распределения информации непрерывна и принимает толь­ко конечные значения.

Интенсивностью λ потока событий называется среднее число (математическое ожидание числа) событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока λ = const; для нестационарного потока интенсивность в общем случае зависит от време­ни: λ= λ(t).

Потоки требований различают по многим видам, но мы рассмотрим наиболее встречающиеся, а именно простейшие потоки и их модификации, потоки Пальма и пото­ки Эрланга.

 

 

Простейшие потоки. Если поток требований обладает свойствами стационарно­сти, ординарности и отсутствия последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком требований.

Вероятность поступления k требований за промежуток времени t в пуассоновском потоке определяется из выражения

 

 

Интервал времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока име­ет показательное распределение

 

где λ = 1/ М [Т ] - величина, обратная среднему значению интервала Т.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение проме­жутка T:

 

 

Полученное совпадение величин M и σ характерно для показательного распреде­ления. Это свойство на практике используют как критерий для первоначальной проверки соответствия гипотезы о показательном распределении полученным статистическим данным.

 

ПРИМЕР. По шоссе мимо наблюдателя движется в одном направлении простей­ший поток машин. Известно, что вероятность отсутствия машин в течение 5 минут равна 0,5. Требуется найти вероятность того, что за 10 мин мимо наблюдателя пройдет не бо­лее двух машин.

Решение. Примем за единицу времени 5 мин. В задаче требуется найти

 

 

Из условия следует P₀(1) = 0,5, т.е. e ^-λ = 0,5, следовательно, λ = ln2. Таким образом, в предыдущее уравнение подставляем λ и получим P_s2 (2) = 0,84.

 

Простейший поток с возможной нестационарностью. Простейшим потоком с возможной нестационарностью (нестационарным простейшим потоком) является поток, обладающий свойствами ординарности, отсутствием последействия и имеющий в каж­дый момент времени t конечное мгновенное значение параметра λ(t).

Мгновенная интенсивность нестационарного простейшего потока λ(t) определяет­ся как предел отношения среднего числа событий, которые произошли за элементарный интервал времени (t, t + △ t), к длине △ t этого интервала, когда △ t → 0. Среднее число со­бытий, наступающих в интервале времени т, следующем непосредственно за моментом

 

t₀, равно Если поток событий стационарный, то

 

Тогда вероятность наступления k требований для рассматриваемого вида потока будет

ПРИМЕР. Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изме­няющийся по закону λ(t) = 1 + 0,5sin(6πt). Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1,5].

Решение. Длина отрезка равна 4. Вычислим среднее число событий, наступающих в интервале времени τ = 4

 

Простейший поток с возможной неординарностью. Простейший поток с воз­можной неординарностью обладает свойствами стационарности и отсутствием последей­ствия. Требования в таком потоке могут поступать не по одному, а сразу группами (па­кетами). В этом случае все требования, приходящие одновременно, объединяются в па­кеты, вероятность поступления двух или более числа пакетов за промежуток времени t есть величина, бесконечно малая по отношению к t. Каждый пакет, исходя из определе­ния, содержит ходя бы одно требование.

Вероятность поступления k требований для потока с возможной неординарностью с учетом вероятности p_m нахождения m требований в пакете

 

 

 

Простейшие потоки с возможным последействием. Поток, имеющий конечное значение

параметра и обладающий свойствами стационарности и ординарности является простейшим потоком с возможным последействием. Условная вероятность поступления некоторого числа требований на заданном промежутке времени t такого потока вычисля­ется при предположении о предыстории потока (о поступлении требований до этого промежутка времени) и может отличаться от безусловной вероятности того же события.

Вероятность поступления требований k за данный промежуток времени t для пото­ка с возможным последействием будет выглядеть следующим образом

 

где φ_к (t) - функция Пальма-Хинчина.

Функция φ_k (t) представляет собой вероятность поступления k требований за время t при условии, что в начальный момент этого промежутка t поступает хотя бы одно (а в силу ординарности потока ровно одно) требование (это начальное требование не входит в число к требований за время t).

Потоки Пальма. Ординарный поток событий называется потоком Пальма (или рекуррентным потоком, или потоком с ограниченным последействием), если интервалы времени T₁,T₂,... между последовательными событиями представляют собой независи­мые, одинаково распределенные случайные величины.

В связи с одинаковостью распределений T₁,T₂,... поток Пальма всегда стационарен. Простейший поток является частным случаем потока Пальма; в нем интервалы между событиями распределены по показательному закону.

Потоки Эрланга. Потоком Эрланга n-го порядка называется поток событий, полу­чающийся «прореживанием» простейшего потока, когда сохраняется каждая n-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются.

Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга n-го по­рядка представляет собой сумму n независимых случайных величин T₁, T₂,..., Т_к, имеющих показательное распределение с параметром λ:

 

 

Закон распределения случайной величины Т называется законом Эрланга n-го по­рядка и имеет плотность

 

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение слу­чайной величины Т соответственно равны:

 

 

Для потоков Эрланга n-го порядка вероятность поступления k требований за промежуток времени t равняется

 

 

Суммирование и разъединение простейших потоков. При объединении не­скольких независимых простейших потоков образуется также простейший поток с пара­метром, равным сумме параметров исходных потоков. При разъединении поступающего простейшего потока с параметром λ на п направлений так, что каждое

требование исходного потока с вероятностью поступает на i-е

 

направление, поток i-го направления также будет простейшим с параметром λp_i. Эти свойства простейшего потока широко используются на практике, поскольку значительно упрощают расчеты стацио­нарного оборудования и информационных сетей.

 

Показательный закон распределения времени обслуживания. Временем об­служивания называется время, затрачиваемое каждым узлом обслуживания на одно тре­бование.

Время обслуживания характеризует пропускную способность каждого узла обслу­живания, не связано с оценкой качества обслуживания и является случайной величиной.

Это объясняется неидентичностью узлов обслуживания и различием в спросе на обслуживание отдельных требований. Например, поступающие на ремонт вагоны имеют не исправности самого различного характера, попадают в различные ремонтные брига­ды, поэтому время на обслуживание для различных вагонов не будет одинаковым.

Во многих задачах теории массового обслуживания закон распределения времени обслуживания предполагается показательным и описывается выражением

 

Параметр µ характеризует среднюю скорость обслуживания требований.

ВАРИАНТЫЗАДАНИЙ

№ вари­анта
№ задачи	№ задачи	Число каналов	Число каналов
	2,6,9	3,7,10
	1,4,8	5,11,16
	3,12,15	10,13,14
	5,20,22	17,19,21
	4,9,14	30,26,24
	6,29,25	9,19,28
	7,17,27	29,22,9
	8,13,18	1,6,11
	9,14,19	16,21,26
	11,16,21	27,22,17
	10,15,20	3,8,13
	12,17,22	30,25,20
	27,22,17	8,13,18
	29,30,24	26,21,17
	13,18,23	23,28,3
	26,20,15	4,9,14
	28,23,18	11,16,21
	29,24,19	7,12,17
	14,19,24	15,20,25
	24,17,12	18,23,28

 

ЗАДАНИЕ

1. Дан пуассоновский поток с параметром 2 мин^-1. Найти вероятность того, что длина интервала между соседними требованиями составляет от 1 до 2 минут.

2. Производится наложение («суперпозиция») двух простейших потоков с ин­тенсивностями λ₁ и λ₂. Будет ли поток, получившийся в результате наложения, простей­шим, и если да, то с какой интенсивностью?

3. Производится случайное прореживание простейшего потока событий с ин­тенсивностью λ; каждое событие, независимо от других, с вероятностью p сохраняется в потоке, а с вероятностью l-р выбрасывается. Каким будет поток, получающийся в ре­зультате прореживания простейшего потока?

4. Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 2 машины в минуту. Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Найти закон распределения времени Т, в течение которого ему придется ждать машину; опре­делить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

5. Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 4 машины в минуту. Шоссе имеет развилку в два направления. Вероятность движения машин в первом направлении равна 0,12, а во вто­ром - 0,88. Определить интенсивности движения автомобилей в обоих направлениях.

6. Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изменяю­щимся по закону. Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1;9].

7. Компьютерный класс связан с каналом Интернет через 10-канальный кон­центратор. Интенсивности передачи данных по каждому из 10 каналов равны соответст­венно 540 бит/с, 120 бит/с, 40 бит/с, 170 бит/с, 350 бит/с, 60 бит/с, 742 бит/с, 153 бит/с, 500 бит/с, 100 бит/с. Поток данных подчиняется пуассоновскому закону распределения. Определить интенсивность передачи данных в канале Интернет.

8. Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изменяю­щимся по закону M(t) = 1 + 0,5 sin(6^t). Параметр является периодическим, его период равен 1/4. Найти вероятность поступления одного, двух и трех требований.

9. Для простейшего потока с нестационарным параметром, определяемым ра­венством λ(t) = 3 + 2^-t, найти вероятность поступления двух требований на промежутке времени [3;8].

10. По железной дороге мимо наблюдателя движется в одном направлении про­стейший поток поездов. Известно, что вероятность отсутствия поездов в течение 10 ми­нут равна 0,8. Требуется найти вероятность того, что за 20 мин мимо наблюдателя прой­дет не более трех поездов.

11. Производится случайное прореживание простейшего потока событий с ин­тенсивностью λ = 4; каждое событие, независимо от других, с вероятностью p=0,6 со­храняется в потоке, а с вероятностью 1-р выбрасывается. Каким будет поток, получаю­щийся в результате прореживания простейшего потока?

12. Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изменяю­щимся по закону λ(t) = 2 + 0,5 sin(4πt). Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [1;5].

13. Дан пуассоновский поток с параметром 1 мин ^-1. Найти вероятность того, что длина интервала между соседними требованиями составляет от 2 до 4 минут.

14. Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 8 машин в минуту. Шоссе имеет развилку в три на­правления. Вероятность движения машин в первом направлении равна 0,12, во втором - 0,68, в третьем - 20. Определить интенсивности движения автомобилей во всех направ­лениях.

15. Поток машин, идущих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с интенсивностью 6 машин в минуту. Человек выходит на шоссе, что­бы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Найти за­кон распределения времени Т, которое ему придется ждать; определить его математиче­ское ожидание и среднее квадратичное отклонение.

16. Для простейшего потока с нестационарным параметром, определяемым ра­венством λ(t) = 7 – 5^-t, найти вероятность поступления двух требований на промежутке времени [1;10].

17. В пункт текущего отделочного ремонта вагонов поступают требования на ремонт. Поток требований можно считать простейшим с интенсивностью λ = 0,307. Най­ти вероятность того, что за час не поступит ни одного требования (вагона) на ремонт.

18. Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслужи­вания распределено по показательному закону F(t) = 1 – e^-1,5t, где t - время в минутах. Най­ти вероятность того, что обслуживание продлится не более 15 мин.

19. Для простейшего потока с нестационарным параметром, определяемым ра­венством λ(t) = 3 + 2^-2t, найти вероятность поступления двух требований на промежутке времени [2;6].

20. В пункт текущего отделочного ремонта вагонов поступает требование на ре­монт. Поток требований можно считать простейшим с интенсивностью А = 0,517. Найти вероятность того, что за час поступит одного требование (вагон) на ремонт.

21. Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслужи­вания распределено по показательному закону F(t) = 1 - e~^0,5t, где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более 5 мин.

22. Производится случайное прореживание простейшего потока событий с ин­тенсивностью λ = 0,7; каждое событие, независимо от других, с вероятностью p=0,75 со­храняется в потоке, а с вероятностью 1-р выбрасывается. Каким будет поток, получаю­щийся в результате прореживания простейшего потока?

23. Производится разбиение случайного простейшего потока событий с интен­сивностью А = 4,9 на три потока. Вероятности попадания событий в тот или иной поток соответственно равны p₁=0,2, p₂=0,54, p₃=0,26. Определить интенсивности каждого по­лучившегося потока в результате разбиения.

24. Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслужи­вания распределено по показательному закону F(t) = 4 – e^-1,6t, где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более 8 мин.

25. В пункт текущего отделочного ремонта вагонов поступают требования на ремонт. Поток требований можно считать простейшим с интенсивностью А = 0,617. Най­ти вероятность того, что за час поступит одно требование (вагон) на ремонт.

26. Производится разбиение случайного простейшего потока событий с интен­сивностью λ = 1,6 на 2 потока. Вероятности попадания событий в тот или иной поток со­ответственно равны p₁=0,44, p₂=0,56. Определить интенсивности каждого получившего­ся в результате разбиения потока.

27. Компьютерный класс связан с каналом Интернет через 5-канальный концен­тратор. Интенсивности передачи данных по каждому из 10 каналов равны соответствен­но 541 бит/с, 110 бит/с, 44 бит/с, 171 бит/с, 356 бит/с. Поток данных подчинятся пуассо­новскому закону распределения. Определить интенсивность передачи данных в канале Интернет.

28. Рассмотрим простейший поток с нестационарным параметром, изменяю­щимся по закону λ(t) = 2 + 0,5sin(4πt). Параметр является периодическим, его период равен 1/3. Найти вероятность отсутствия требований на отрезке [4;9].

29. На вокзал прибывает пуассоновский поток поездов, в среднем 2 поезда за 5 минут. Найти вероятность того, что за 15 минут прибудут 3 поезда.

30. Время обслуживания для аппаратов некоторой системы массового обслужи­вания распределено по показательному закону F(t) = 1 – e^-4,5t, где t - время в минутах. Найти вероятность того, что обслуживание продлится не более 20 мин.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Методические указания

Классификация систем массового обслуживания. Большинство задач на желез­нодорожном транспорте связано с системами массового обслуживания.

Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а, с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания.

Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник тре­бований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслужи­вающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.

Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. Одним из признаков является ожидание требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды:

1) системы массового обслуживания с потерями (отказами);

2) системы массового обслуживания с ожиданием;

3) системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди;

4) системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.

Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент,

когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются систе­мами с потерями или отказами.

Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным чис­лом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сро­ком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным вре­менем ожидания.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканаль­ные.

По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой систе­ме. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки явля­ются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание.

Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д. Кендалла. При этой классификации характеристику сис­темы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например А | B | S, где А — тип распределения входящего потока требований, В — тип распределения времени об­служивания, S — число каналов обслуживания.

Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произ­вольного) распределения - символ G. Запись М | М | 3 означает, что входящий поток тре­бований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспонен­циальному закону, в системе имеется три канала обслуживания.

Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый — порядок от­бора (приоритета) требований.

Уравнение Колмогорова для вероятностей состояний. Системы, представляе­мые в виде непрерывной цепи Маркова, обычно исследуют с помощью уравнения Кол­могорова для вероятностей состояний.

Плотностью вероятности перехода λ_ij из состояния Si в состоянии Sj называется

предел отношения вероятности этого перехода за время △t к длине промежутка △t, когда последний стремится к нулю:

 

 

где P_ij (△t) - вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии S_i, за время △t перейдет в состояние Sj.

Марковская непрерывная цепь называется однородной, если плотность вероятно­стей λ_ij не зависит от времени t, в противном случае она называется неоднородной.

Для однородных Марковских непрерывных цепей, характеризующих процессы ги­бели и размножения, уравнения Колмогорова имеют вид:

 

где P_i (t) - вероятность состояния Si, когда в системе находится i требований в мо­мент времени t; n +1- общее число возможных состояний So,Si,...,S_n.

При гипотезе о стационарном режиме работы системы (вероятности состояний не зависят от времени) уравнения Колмогорова принимают вид:

 

 

^-

В большинстве практических задач оказывается допустимой гипотеза о стационар­ном режиме работы системы. Поэтому могут быть использованы уравнения Колмогорова второго вида.

Математические модели систем массового обслуживания, приводимые ниже, соот­ветствуют уравнениям Колмогорова для стационарного режима работы системы при ус­ловиях простейшего потока входящих требований и экспоненциального закона распре­деления времени обслуживания.

Системы массового обслуживания с отказами. СМО с отказами является та­кая система, в которой приходящие для обслуживания требования, в случае занятости всех каналов обслуживания, сразу ее покидают.

Вероятности состояний системы определяются из выражения

 

 

где k =1,2…, N, N – общее число каналов; – нагрузка; λ - интенсивность входящего потока требований, μ - интенсивность (производительность) одного канала (прибора) обслуживания, а вероятность отсутствия требований Р₀

определяется из вы­ражения

 

 

К основным характеристикам качества обслуживания рассматриваемой СМО отно­сятся:

Вероятность отказа

 

Среднее число занятых узлов обслуживания М_зан = р(1 - P_N).

Среднее число свободных узлов обслуживания М_св = N - М_зан.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, отсюда

 

Относительная пропускная способность определяется по формуле

Абсолютная пропускная способность СМО с отказами равняется

 

Коэффициент занятости узлов обслуживания определяется отношением средним числом занятых каналов к общему числу каналов

 

ПРИМЕР. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ по­ступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 ч^-1. Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.

 

Таким образом, Р_отк = 0,033; М_зан = 0,72525 ЭВМ.

 

Система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди. СМО с ог­раниченной длиной очереди является такая система, в которой требование, поступающее на обслуживание, покидает систему, если заняты все каналы обслуживания, и в накопи­теле заняты все места.

Вероятности состояний S₀,S1,...,S_N находят по формуле

 

Вероятности состояний S_N+1,S_N+2,…,S_N+l определяют с помощью формулы

 

l – максимальная длина очереди

Вероятность P0 подсчитывают по формуле

 

Среднее число каналов, занятых в обслуживании, и коэффициент занятости определяются:

Среднее число свободных аппаратов и коэффициент простоя определяются:

Средняя длина очереди определяется с помощью выражения:

ПРИМЕР. На автозаправочной станции установлены три колонки для выдачи бен­зина. Около станции находится площадка на три машины для их ожидания в очереди. На станцию прибывает в среднем две машины в минуту. Среднее время заправки одной ма­шины 1мин. Требуется определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.

 

Таким образом, P_отк = 0,048, М_ож = 0,35машины.

 

Системы массового обслуживания с ожиданием. СМО с ожиданием аналогична системе массового обслуживания с ограниченной длиной очереди при условии, что граница очереди отодвигается в бесконечность. Вероятность состояний СМО с ожиданием находят по формулам:

 

 

При ρ / N > 1 наблюдается явление «взрыва» - неограниченный рост средней

длины очереди, поэтому для определения P₀должно выполняться ограничивающее условие ρ / N < 1, и с учетом его запишем выражение:

 

 

 

К основным характеристикам качества обслуживания СМО с ожиданием относят:

Вероятность наличия очереди Pоч, т.е. вероятность того, что число требований в

системе больше числа узлов:

 

 

 

 

Коэффициент простоя K₀ и коэффициент загрузки K₃каналов обслуживания системы:

 

ПРИМЕР. В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсив-

ность потока судов равна 0,8 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 сут. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины.

Найти среднее время пребывания судна в порту.

 

Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания. В сис­темах массового обслуживания с ограниченным временем ожидания время ожидания в очереди каждого требования ограничено случайной величиной t_ож, среднее значение которого

Величина, обратная среднему времени ожидания, означает среднее количество требований, покидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования: v = 1/

При наличии в очереди k требований интенсивность потока покидающих очередь требований составляет kv.

Для дальнейшего рассмотрения СМО с ограниченным временем ожидания введем

новый параметр, означающий среднее число требований, покидающих

 

систему необслуженными, приходящиеся на среднюю скорость обслуживания

требований.

 

Формулы для определения вероятностей состояний такой системы имеют вид:

 

 

 

В практических задачах сумму бесконечного ряда вычислить достаточно просто, так как члены ряда быстро убывают с увеличением номера.

 

Средняя длина очереди:

 

 

Вероятность отказа:

 

Среднее число занятых каналов обслуживания и коэффициент загрузки:

 

 

Среднее число свободных каналов обслуживания и коэффициент простоя:

 

 

Относительная пропускная способность:

 

ПРИМЕР. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность

потока посетителей λ=6 посетителей в час. Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом μ=3 посетителей в час. Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, ν=1 посетитель

в час. Найти абсолютную пропускную способность пункта.

Имеем: m=З, λ =6, μ =3, ν =1. Находим: р = λ /μ = 6 / 3 = 2,

 

 

Вероятность занятости всех приборов равна Р_зан = 1 – Р₀ = 0,87. Тогда абсолютная пропускная способность может быть получена как произведение:

А = NР_зан = 3 • 0,87 = 2,61. Таким образом, А = 2,61 посетителя в час.

 

 

Замкнутые системы массового обслуживания. В замкнутых системах массового обслуживания источник требований находится внутри системы, и интенсивность потока требований зависит от состояния самой системы.

Чаще всего потоком требований в такой системе является поток неисправностей от некоторой группы работающих устройств. Пусть имеется m работающих устройств, ко­торые могут выходить из строя за счет неисправностей. Имеется также N приборов (ка­налов) обслуживания этих требований. В качестве таких каналов могут выступать и лю­ди. Обычно предполагают, что N < m.

Обозначим через S₀ состояние, при котором все устройства работают, а приборы обслуживания не заняты; S₁ - состояние, при котором одно устройство вышло из строя и обслуживается одним прибором обслуживания; S_N — N устройств не работают и все приборы заняты обслуживанием; S_m - все устройства не работают, из них N обслужива­ются и m - N и ждут обслуживания.

Вероятности состояний замкнутой системы определяются следующими зависимо­стями:

 

 

Средняя длина очереди:

 

 

Коэффициент простоя требований в СМО:

 

 

Среднее число требований в СМО:

 

 

Среднее число свободных каналов и коэффициент простоя каналов K₀:

 

 

Вероятность занятости каналов обслуживания:

 

 

Абсолютная пропускная способность:

 

ПРИМЕР. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час. Процесс наладки занимает в среднем 10 мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков.

 

Имеем: n =1, m =3, λ=2, Тобс =1/6, μ=6. Находим: ρ = λ /μ = 1/ 3,

 

 

 

Определяем вероятность того, что рабочий будет занят обслужива