В квантовой механике возникает важнейшая проблема об отыскании такого уравнения, которое явилось бы тем же, чем являются уравнения движения Ньютона для классической механики. Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопических тел решать основную задачу механики — по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и определенным начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т. е. описать движение тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц микромира характерна двойственная природа, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе). Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношения неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Поскольку положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции Y (х, у, z, t), точнее величиной ½Y½2, определяющей лишь вероятность нахождения частицы в точке х, у, z в момент t, основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции Y (х, у, z, t). Далее, это уравнение должно быть волновым уравнением, ибо из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновую природу.
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было найдено в 1926 г. Эрвином Шредингером. Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не выводимые, уравнение Шредингера постулируется. Справедливость уравнения Шредингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в хорошем согласии с опытом. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:
|
|
. (14.1)
Здесь 
Дж× сек - постоянная Планка; т - масса частицы; U (х, у, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, где частица движется; 
оператор Лапласа, Y = Y (х, у, x, t) — искомая волновая функция частицы; i = 
мнимая единица.
Уравнение (14.1) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью v<<c(с — скорость света в вакууме). В релятивистской области при v » c уравнение Шредингера заменяется более сложным релятивистским уравнением Дирака, рассмотрение которого выходит за рамки нашего курса. Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию Y (х, у, z, t). Этих условий три:
1) функция Y должна быть конечной, непрерывной и однозначной;
2) производные 
должны быть непрерывны;
3) функция | Y |2 должна быть интегрируема, т. е. (14.2)
интеграл 
должен быть конечным.
В простейших случаях третье условие сводится к условию нормировки вероятностей. Первые два из указанных условий не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Третье условие относительно интегрируемости |Y|2 связано с тем, что физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция Y, а квадрат ее модуля |Y|2. Важность условий (14.2) заключается в том, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно высказать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических величинах, ее характеризующих.
|
|
Шредингер предложил вид функций, удовлетворяющих уравнению (14.1):
w - круговая частота, k - волновое число, Е – энергия частицы, р – её импульс.
Уравнение (14.1) часто называют временным уравнением Шредингера, ибо оно содержит производную от функции Y по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например для описания поведения электрона в атоме, в ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость Y от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U = U (х, у, z). Будем искать решение уравнения (14.1) в виде произведения двух функций:
(14.3)
в котором разделены переменные: y является функцией только координат, j - функцией только времени. Подставляя (14.3) в (14.1) и производя дифференцирование, получаем
.
Разделим правую и левую части уравнения на произведение y×j:
(14.4)
Поскольку левая часть уравнения есть функция только координат, а правая - функция только времени, уравнение (14.4) удовлетворяется при единственном условии - обе части равны постоянной величине. Обозначим ее через ( - W):
|
|
(14.5)
(14.6)
Уравнение (14.6) обычно записывают в форме
(14.7)
и называют стационарным уравнением Шредингера. Разность (W – U) имеет смысл кинетической энергии частицы, а W – её полной энергии.
Уравнение (14.7) является важнейшим соотношением нерелятивистской квантовой механики, играющим основную роль в атомной физике. Функции y, удовлетворяющие уравнению Шредингера при данном значении U, называются собственными функциями. Значения W, при которых существуют решения уравнения Шредингера (14.7), называются собственными значениями. Примеры отыскания собственных функций и собственных значений будут рассмотрены в следующих параграфах.