Временное и стационарное уравнение Шредингера

В квантовой механике возникает важнейшая проблема об оты­скании такого уравнения, которое явилось бы тем же, чем являются уравнения движения Ньютона для классической механики. Как из­вестно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопических тел решать основную задачу механики — по заданным силам, действую­щим на тело (или систему тел), и определенным начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т. е. описать движе­ние тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц микромира характерна двойственная природа, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе). Вероятностное (статистиче­ское) истолкование волн де Бройля и соотношения неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Поскольку положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции Y (х, у, z, t), точнее величиной ½Y½², определяющей лишь вероятность нахождения частицы в точке х, у, z в момент t, основное уравнение квантовой механики должно быть урав­нением относительно функции Y (х, у, z, t). Далее, это уравнение долж­но быть волновым уравнением, ибо из него должны получить свое объяс­нение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновую природу.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики было найдено в 1926 г. Эрвином Шредингером. Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не вы­водимые, уравнение Шредингера постулируется. Справедливость урав­нения Шредингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в хорошем согласии с опытом. Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

. (14.1)

Здесь Дж× сек - постоянная Планка; т - масса частицы; U (х, у, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, где частица движется; оператор Лапласа, Y = Y (х, у, x, t) — иско­мая волновая функция частицы; i = мнимая единица.

Уравнение (14.1) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью v<<c(с — скорость света в вакууме). В релятивистской области при v » c уравнение Шредингера заменяется более сложным релятивистским уравнением Дирака, рассмотрение которого выходит за рамки нашего курса. Уравнение Шре­дингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию Y (х, у, z, t). Этих условий три:

1) функция Y должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

2) производные должны быть не­прерывны;

3) функция | Y |² должна быть интегрируема, т. е. (14.2)

интеграл должен быть конечным.

В простейших случаях третье условие сводится к условию нор­мировки вероятностей. Первые два из указанных условий не представляют собой чего-либо особенного. Это обычные требования, накладываемые на искомое решение дифференциального уравнения. Третье условие относительно интегрируемости |Y|² связано с тем, что физический смысл имеет, как уже подчеркивалось, не сама функция Y, а квадрат ее модуля |Y|². Важность условий (14.2) заключается в том, что, как мы увидим дальше, с их помощью, не решая уравнения Шредингера, а лишь исследуя возможные его решения, можно выска­зать ряд очень существенных заключений об энергии исследуемой частицы и других физических величинах, ее характеризующих.

Шредингер предложил вид функций, удовлетворяющих уравнению (14.1):

w - круговая частота, k - волновое число, Е – энергия частицы, р – её импульс.

Уравнение (14.1) часто называют временным уравнением Шре­дингера, ибо оно содержит производную от функции Y по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например для описания поведения электрона в атоме, в ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравне­ния Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость Y от времени. Оно имеет смысл для тех задач, в которых потенциальная энергия U не зависит от времени: U = U (х, у, z). Будем искать решение уравнения (14.1) в виде про­изведения двух функций:

(14.3)

в котором разделены переменные: y является функцией только коор­динат, j - функцией только времени. Подставляя (14.3) в (14.1) и производя дифференцирование, получаем

.

Разделим правую и левую части уравнения на произведение y×j:

(14.4)

Поскольку левая часть уравнения есть функция только координат, а правая - функция только времени, уравнение (14.4) удовлетво­ряется при единственном условии - обе части равны постоянной величине. Обозначим ее через ( - W):

(14.5)

(14.6)

Уравнение (14.6) обычно записывают в форме

(14.7)

и называют стационарным уравнением Шредингера. Разность (W – U) имеет смысл кинетической энергии частицы, а W – её полной энергии.

Уравнение (14.7) является важнейшим соотношением нереляти­вистской квантовой механики, играющим основную роль в атомной физике. Функции y, удовлетворяющие уравнению Шредингера при данном значении U, называются собственными функциями. Значения W, при которых существуют решения уравнения Шредингера (14.7), назы­ваются собственными значениями. Примеры отыскания собственных функций и собственных значений будут рассмотрены в следующих параграфах.