| Билет №25.
1. Полная и локальная производные вектора. Формула Бура.
2. Центр тяжести тела. Методы определения положения центра тяжести.
1. Полная и локальная производная вектора. Формула Бура.
Пусть задан вектор b(t)=bxi+byj +bzk в подвижной системе отсчета. Орты i, j, k не меняются в подвижной системе отсчета. Поэтому локальная производная d~b/dt=dbx/dt∙i+dby/dt∙j+dbz/dt∙k, а полная производная с учетом изменения также ортов i, j, kпримет вид: db/dt= dbx/dt∙i+dby/dt∙j+dbz/dt∙k+bxdi/dt+ bzdj/dt+ bzdk/dt.= d~b/dt+ω×(bxi+ byj+bzk)= d~b/dt+ω×b.
db/dt=d~b/dt+ω×b –формула Бура.
Частные случаи:
А) ω=0Þdb/dt= d~b;
Б) Если вектор b не меняется в подвижной системе отсчета, то db/dt=ω×b;
В) Если b все время параллелен вектору угловой скорости (ω×b=0), то db/dt= d~b.
2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести.
Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор rC=∑Piri/P.
XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P
Вес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы.
Методы определения координат центра тяжести тела.
4) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них.
5) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то
rC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/V
Отрицательные массы:
rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk – объемы и радиус-векторы пустот тела.
6) Интегрирование: если тело нельзя разбить)
XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V,
ZC=(∫zdV)/V
| Билет №26.
1. Пара вращений.
2. Теорема о приведении произвольной системы сил к паре – основная теорема статики.
1. Пара вращений.
При противоположных направлениях векторов ωe и ωr и равенстве их модулей (ωe = ωr), если условие ωe=-ωr выполняется на отрезке времени t2-t1, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений.
Действительно, ω=ωe+ωr=
-ωr+ωr=0, и для любой точки тела справедливы соотношения: v=ωe×r1+ωr×r2=ωe×(r1-r2)=ωe×OeOr=ωr×OrOe;
Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения.
2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.
Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О.
Доказательство:
Пусть О – центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO=F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О).
| Билет №27.
1. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду.
1. Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей.
Если оси вращательных движений тела параллельны, то вектор результирующей угловой скорости ω тела в неподвижной системе координат будет коллинеарен ωе и ωr. Положение мгновенной оси вращения тела как оси, проходящей в данный момент времени через точку Р – МЦС в плоскости П, перпендикулярной осям вращений, можно определить из анализа: vrP=ωr×OrP, veP=ωe×OeP, Or, Oe – точки пересечений П с соответствующими осями вращения. vP=veP+vrP=0ÞveP= -vrPÞveP= vrPÞωrOrP=ωeOeP.
В зависимости от взаимного расположения и численного значения векторов ωr и ωe можно выделить 3 случая сложения вращательных движений:
А) При совпадении направлений векторов ωe и ωr абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость в этом случае будет иметь направление, совпадающее с направлениями её составляющих, а её модуль ω=ωr+ωe. Положение точки Р можно найти из пропорции ωe/OrP=ωrOeP=ω/OeOr. Скорость любой точки тела может быть найдена по формуле v=ω×PM.
Б) При противоположных направлениях векторов ωe и ωr, когда ωr≠ωe, абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость имеет направление, совпадающее с направлением большей по модулю составляющей угловой скорости, а её модуль ω=|ωr-ωe|. Пропорции для нахождения точки Р имеют тот же вид, что и в пункте А.
2. Инварианты системы тел. Частные случаи приведения.
Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.
3. Главный вектор R=∑Fi=const.
4. Скалярное произведение главного вектора и главного момента LOR=const=FxMx+ FyMy+FzMz.
Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R:
MO1R= MOR+(O1OxR)R Þ ПрR(LO1)= ПрR(LO)=LO1R∙ ∙cos(LO1^R)= LO2Rcos(LO2^R).
LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz
Приведение к простейшему виду:
4) MO=0, R¹0 à к равнодействующей, равной R, проходящей через О.
5) R=0, MO¹0 à к паре с моментом MO (независимо от О).
R¹0, MO¹0, MO┴Ràк равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= |MO| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом MO лежат в одной плоскости Þ
Þ силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’.
6) MOR¹0, R¹0, MO¹0, R не перпендикулярна MO – приводится к динаме.
Доказательство: Разложим MO на 2 составляющих: M1 иM2. M2 представим в виде пары сил R’ и R”. Силы Rи R” уравновешиваются, а M1 перенесем в точку O1 (свободы).
В результате получили винт R’,M1, проходящий через точку О1.
Прямая, проходящая через точку О1 – ось динамы.
| Билет №28.
1. Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки.
2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.
1. Теорема о проекциях двух точек на линию, соединяющую эти точки.
При любом движении проекции двух точек на линию, их соединяющую, равны.
Док-во: rB=rA+AB =>drB/dt = drA/dt+dAB/dt, но dAB/dt ┴ AB.Проецируем на линию АВ, учитывая, что dAB/dt ┴ AB:
ПрАВ(vB)=ПрАВ(v)A+0.
2. Главный вектор, момент.
Пусть дана система сил (F1, F2,…,Fn).
Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.
R=∑Fk.
Rx=∑Fkx; cos(x,R)=Rx/R;
Ry=∑Fky; cos(y,R)=Ry/R;
Rz=∑Fkz; cos(z,R)=Rz/R;
Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).
Lx=∑Mx(Fk)
| Билет №29.
1. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
2. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку.
1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки.
VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения.
i j k
VM=ω×rM= ωx ωy ωz
XM YM ZM
X/ωx=Y/ωy=Z/ωz – мгновенная ось вращения.
aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aAвр+aAос.
aAвр=ε×rA – вращательное ускорение точки.
aAос=ω×vA – осестремительное ускорение точки.
Формула Ривальса: aAoc=ωvAsin(ω, vA). aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки.
aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v).
2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки.
Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы Fотносительно произвольной точки О на этой оси.
Доказательство:
Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ
MO(F)┴(OAB). Пусть угол междуMO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα.
Ч.т.д.
| Билет №30.
1. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела.
2. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления.
1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении.
vB=vA+ωxAB.
aB=dvB/dt=dvA/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=aA+εxAB+ωx(ωx
AB).
Считая, что εхАВ=(aBA)τ;
(aBA)n=ω²∙AB, окончательно получим:
aB=aA+(aBA)τ+(aBA)n
aA – ускорение полюса;
aBA – ускорение движения вокруг полюса.
2. Главный вектор, момент.
Пусть дана система сил (F1, F2,…,Fn).
Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.
R=∑Fk.
Rx=∑Fkx; cos(x,R)=Rx/R;
Ry=∑Fky; cos(y,R)=Ry/R;
Rz=∑Fkz; cos(z,R)=Rz/R;
Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения).
Lx=∑Mx(Fk)
|