Основные формулы:
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
, (3.1)
где Ψ – волновая функция, 
, E – полная энергия частицы, U – ее потенциальная энергия, 
.
Собственная волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике имеет вид
(3.2)
где ℓ - ширина потенциального ящика.
Собственное значение энергии частицы, находящейся на n - ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике определяется выражением
(3.3)
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x до x + dx выражается формулой
, (3.4)
где │Ψ(x)│2 – плотность вероятности.
Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины рассчитывается по формуле
, (3.5)
где U – высота потенциального барьера, d – ширина барьера.
Состояние электрона в атоме определяется квантовыми числами n, ℓ, mℓ, ms. n – главное квантовое число, определяющее значение энергии атома; n =1, 2, 3….
Собственные значения энергии электрона в атоме водорода
(3.6)
ℓ - орбитальное квантовое число, определяющее значение орбитального момента импульса электрона; ℓ =1, 2…(n -1)
(3.7)
mℓ - магнитное квантовое число, определяющее проекцию орбитального момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля; mℓ = - ℓ …0…+ ℓ
LH=mℓħ (3.8)
ms - магнитное спиновое квантовое число, определяющее проекцию спина на направление внешнего магнитного поля; ms = ±½
LS,H=msħ (3.9)
Спин – собственный момент импульса электрона (и других элементарных частиц)
(3.10)
где S – спиновое квантовое число; S =½.
Примеры решения задач
Задача 3.1. Электрон находится в одномерном бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной l. Определить наименьшую разность двух соседних энергетических уровней (в эВ) электрона в двух случаях: 1) l =10 см; 2) l =1 нм. Сравнить полученные результаты. Показать на графике распределение плотности вероятности обнаружения электрона на данном уровне.
Решение.
Из формулы (3.3) для собственных значений энергии электрона при его движении в потенциальном ящике следует, что отношение энергии равно E 1: E 2: E 3:…=1:4:9: …, поэтому наименьшая разность уровней
1) 
(Дж) = 1,1·10-16 эВ.
2) 
(Дж) = 1,1 эВ.
Как видно из полученных результатов, в первом случае разность уровней столь мала, что дискретностью энергии можно пренебречь и считать, что в случае, когда электрон движется в ящике, размер которого много больше атомных размеров (~10-10 м), его энергия изменяется непрерывно. Во втором случае электрон движется в потенциальном ящике, размер которого соизмерим с размерами атома. Значение Δ E получилось достаточно большим и дискретностью изменения энергии электрона пренебречь нельзя.
Ответ: 1) 1,1·10-16 эВ; 2) (Дж) = 1,1эВ.
Задача 3.2. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном ящике шириной l. Определить: 1) вероятность того, что электрон находящийся в первом возбужденном состоянии, будет обнаружен в крайней левой четверти ящика; 2) вероятность нахождения электрона в середине ящика.
Решение.
Вероятность нахождения частицы в бесконечно узком интервале dx определяется формулой (3.4), следовательно, вероятность обнаружения частицы в левой четверти ящика, т.е. в интервале 
, равна 
.
Учитывая соотношение (3.2) и то, что первому возбужденному состоянию соответствует главное квантовое число n =2, получим
.
Произведя замену 
и, разбив интеграл на два, перейдем к выражению
,
.
Нетрудно показать, что вероятность обнаружения электрона в правой крайней четверти ящика тоже равна 0,5.
|
.
Распределение плотности вероятности обнаружения электрона на втором уровне приведено на рис. 3.1.
Задача 3.3. Электрон с энергией 3,6 эВ движется в положительном направлении оси x, встречая на своем пути потенциальный барьер. Чему равна высота барьера (в эВ), если вероятность прохождения через него электрона равна 0,2, а ширина барьера 0,5 нм?
Решение.
Вероятность W прохождения частицы сквозь потенциальный барьер по физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D, поэтому может быть определена по формуле (3.5)
,
где U – искомая высота потенциального барьера.
(эВ).
Ответ: U =3,6 эВ.
Задача 3.4. Определить возможные значения орбитального момента импульса электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения 12,09 эВ.
Решение.
Орбитальный момент импульса электрона определяется квантовым числом ℓ по формуле (3.7). Так как ряд возможных значений ℓ ограничен величиной (n -1), найдем главное квантовое число n с помощью формулы
E = h ν= En-E 1; E = hcR 
.
Учитывая, что hcR = E i =13,6 эВ, получим 12,09=13,6 
, откуда 
и n =3, следовательно, ℓ =0, 1, 2.
Используя формулу (3.7), получим:
при ℓ =0 Lℓ =0;
при ℓ =1 Lℓ = 
=1,49·10-34 Дж·с;
при ℓ =2 Lℓ = 
=2,6·10-34 Дж·с.
Ответ: 0; 1,49·10-34 Дж·с; 2,6·10-34 Дж·с.
Задача 3.5. Определить наименьший угол, который может образовать вектор орбитального момента импульса электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d -состоянии.
Решение.
d -состоянию электрона соответствует значение орбитального квантового числа ℓ =2, следовательно, магнитное квантовое число mℓ, определяющее проекцию орбитального момента импульса электрона на направление магнитного поля, может принимать значения: -2, -1, 0, +1, +2.
Орбитальный момент импульса равен (3.7)
.
Этот вектор занимает в магнитном поле такое положение, что его проекции на направление этого поля равны (3.8):
LH = –2 ħ, –1 ħ, 0, +1 ħ, +2 ħ.
На рис. 3.2 представлены возможные ориентации вектора орбитального момента импульса электрона во внешнем магнитном поле. 
Из рисунка видно, что для наименьшего угла α
α=35˚10′.
Ответ: α=35˚10′.