Строение ядра. Энергия связи. Радиоактивность

Основные формулы:

Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , где Z – зарядовое число, определяющее число протонов в ядре, A – массовое число, определяющее число нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре.

Закон радиоактивного распада

N = N ₀exp(-λ t), (4.1)

где N ₀ – число ядер в начальный момент времени (t =0), N – число ядер в момент времени t, λ – постоянная радиоактивного распада.

Количество атомов, распавшихся за время t

(4.2)

Период полураспада T – промежуток времени, за который число ядер уменьшается в два раза. Период полураспада и постоянная распада связаны соотношением

(4.3)

Если подставить (4.3) в соотношение (4.1), закон радиоактивного распада можно представить в другом виде

(4.4)

В случае, когда промежуток времени Δ t мал по сравнению с периодом полураспада Т (Δ t << T), то число распавшихся ядер можно определять по приближенной формуле

Δ N ≈ λ· N ·Δ t (4.5)

Среднее время жизни τ радиоактивного изотопа – промежуток времени, за который число ядер уменьшается в e раз

(4.6)

Активность радиоактивного изотопа – число ядер, распавшихся в единицу времени

(4.7)

начальная активность (при t =0)

A ₀=λ N ₀ (4.8)

Активность изменяется с течением времени по закону

(4.9)

Уравнения α- и β- распадов (правила смещения):

(4.10)

(4.11)

Закон поглощения γ-излучения веществом

I = I ₀ e ^– ^{μ x}, (4.12)

где I ₀ – интенсивность γ-излучения, падающая на слой вещества толщиной x, I - интенсивность γ-лучей, прошедших слой x, μ – линейный коэффициент поглощения.

Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)

, (4.13)

где и - суммы масс покоя частиц, соответственно, до и после реакции, с – скорость света в вакууме. Если >0, то реакция идет с выделением энергии; если <0, то реакция идет с поглощением энергии.

Энергетический выход ядерной реакции чаще измеряют не в системе СИ (Дж), а в МэВ.

В этом случае массу частиц измеряют в атомных единицах массы (а.е.м.), а значение .

Все ядерные реакции идут в соответствии с законами сохранения заряда, массового числа (число нуклонов), полной энергии и импульса.

Под полной энергией подразумевается полная релятивистская энергия, определяемая по формуле

, (4.14)

где - сумма энергий покоя частиц до реакции, - сумма их кинетических энергий. Справа стоят те же физические величины, относящиеся к частицам, образующимся в результате реакции.

Энергия связи ядра, т.е. энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его частицы без сообщения им кинетической энергии, определяется формулой

(4.15)

где m_p, m_n и m_я, соответственно, массы протона, нейтрона и ядра.

Так как в справочных таблицах приводятся значения масс атомов, а не ядер, надо перейти к соотношению, содержащему эти величины. Масса ядра m_я = m_а - Zm_e, где m_e – масса электрона, тогда

Учитывая, что - масса атома водорода, можно записать

(4.16)

Примеры решения задач

Задача 4.1. Вычислить удельную энергию связи ядра магния . Масса атома магния m _Mg=23,98504 а.е.м.

Решение.

Ядро магния содержит 12 протонов и 12 нейтронов. Согласно формуле (4.16) получим:

Удельная энергия связи ,

Ответ: Δ Е _уд=8,21 МэВ.

Задача 4.2. В какой элемент превращается изотоп урана после трех α-распадов и двух β ^- -распадов?

Решение.

Каждый α-распад, согласно правилам смещения (4.10, 4.11), сопровождается уменьшением зарядового числа на 2 и уменьшением массового числа на 4. Каждый β ^— распад сопровождается увеличением зарядового числа на единицу без изменения массового числа.

Таким образом, зарядовое число полученного элемента

Z =92-3·2+2·1=88, а массовое число A =238-3·4=226, т.е. получился элемент .

Ответ: .

Задача 4.3. Сколько ядер, содержащихся в 1 г трития , распадается за среднее время жизни этого изотопа?

Решение.

Согласно закону радиоактивного распада (4.1) N = N ₀exp(-λ t), среднее время жизни радиоактивного изотопа , по условию задачи t =τ, следовательно, .

Число распавшихся атомов за время t =τ равно

Найдем число атомов N ₀, содержащихся в массе m =1 г изотопа :

где μ=0,003 кг/моль, N_A – число Авогадро.

Ответ: Δ N =1,27·10²³.

Задача 4.4. Активность препарата урана–238 равна 2,5·10⁴ Бк, масса препарата равна 2 г. Определить период полураспада урана.

Решение.

Согласно соотношению (4.7) активность радиоактивного препарата равна A =λ N. Учитывая, что , получим

где N – число ядер, содержащихся в препарате массой m.

Молярная масса μ данного изотопа урана равна 238 г/моль.

Окончательная формула для периода полураспада

Ответ: 4·10⁹ лет.

Задача 4.5. Какую массу воды, взятой при 0 ˚С можно довести до кипения, используя энергию термоядерного синтеза гелия из дейтерия и трития, считая, что на нагревание идет 10% выделяемой энергии. Масса синтезированного гелия 1 г.

Решение.

Уравнение ядерной реакции синтеза

Подсчитаем суммарную массу частиц до реакции

Σ m_i =2,01410 а.е.м.+3,01605 а.е.м.=5,03015 а.е.м.

Суммарная масса частиц, образовавшихся в результате синтеза

Σ m′_i =4,00260 а.е.м.+1,00867 а.е.м.=5,01127 а.е.м.

Результаты расчета показывают, что Σ m′_I < Σ m_i, следовательно, реакция идет с выделением энергии

Q =(5,03015 - 5,01127)·931=17,6 (МэВ).

Эта энергия выделяется при синтезе одного ядра. В массе образовавшегося гелия содержится ядер

, .

Следовательно, полная энергия, выделяемая в данной реакции:

Δ E = Q · N; Δ E =17,6·1,5·10²³=26,5·10²³ (МэВ).

Вода при нагревании получает 10% от Δ E, т.е. 0,1· Δ E = mc Δ T, где m – масса воды, c – её удельная теплоемкость, Δ T =100 К.

Чтобы получить массу воды в кг, перейдем к системе СИ

Ответ: m =100 т.

Задача 4.6. Определить кинетические энергии продуктов реакции , протекающей в результате взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора.

Решение.

Ядро бора , поглотив медленный нейтрон, превращается в ядро , которое, будучи возбужденным, испускает α-частицу (ядро гелия ), превращаясь в ядро лития . Уравнение реакции имеет вид: .