В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. Запишите основное уравнение динамики материальной точки.

2. Приведите дифференциальные уравнения движения материальной точки в векторной и координатной формах, в проекциях на естественные оси.

3. Сформулируйте две основные задачи динамики материальной точки.

4. Что называют механической системой?

5. Какие силы называются «внешними» и «внутренними»?

6. Как определяется положение центра масс механической системы?

7. Запишите теорему о движении центра масс механической системы.

8. Чему равно количество движения: а) материальной точки, б) механической системы, в) твердого тела?

9. Что такое импульс силы?

10. В чем состоит теорема об изменении количества движения: а) материальной точки, б) механической системы?

11. Когда справедлив закон сохранения количества движения механической системы?

12. Дайте определение момента инерции тела относительно оси.

13. Чему равен момент количества движения материальной точки относительно центра или оси?

14. Чему равен кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси?

15. Как найти кинетический момент твердого тела относительно оси его вращения?

16. В чем состоит теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно неподвижного центра и оси?

17. Запишите теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра и оси.

18. Приведите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси.

19. Чему равна кинетическая энергия: а) материальной точки, б) механической системы?

20. Запишите формулы для определения кинетической энергии тела: а) при поступательном, б) вращательном, в) плоскопараллельном движении.

21. Как найти работу постоянной силы на конечном перемещении?

22. Как найти работу переменной силы на криволинейном перемещении точки ее приложения?

23. Чему равна работа: а) силы тяжести, б) силы упругости?

24. Как найти работу силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

25. Чему равна мощность силы?

26. В чем состоит теорема об изменении кинетической энергии: а) для материальной точки, б) для механической системы?

27. Что такое сила инерции материальной точки?

28. Чему равен главный вектор (главный момент) сил инерции твер- дого тела?

29. В чем состоит принцип Даламбера для материальной точки и для механической системы?

30. Как классифицируют связи?

31. Назовите отличия возможных перемещений от действительных.

32. Дайте определение обобщенных координат механической системы.

33. Как определить число степеней свободы механической системы?

34. Как определить обобщенную силу? Какова ее размерность?

35. Дайте определение и приведите примеры идеальных связей.

36. Сформулируйте принцип возможных перемещений.

37. Как на основе принципа возможных перемещений найти реакции связей уравновешенного твердого тела?

38. Запишите общее уравнение динамики.

39. Какие уравнения называют уравнениями Лагранжа второго рода?

40. В каких переменных должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

 

Методические

Указания

 

 

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер контрольной работы, номера решаемых задач и методические указания, откуда они взяты.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается рисунок (можно карандашом), записываются исходные данные и задание (текст задачи не переписывать).

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 – это рис. 4 к задаче С1 и т.д. Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер условия в таблице по предпоследней цифре шифра, а номер рисунка – по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то необходимо взять условия 4 из таблицы и рис. 6.

Рисунок выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; все углы, действующие силы, число тел и их расположение на рисунке должны соответствовать этим условиям. В результате в целом ряде задач рисунок получится более простой, чем общий.

Рисунок должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры должны позволять показать все необходимые векторы – силы, скорости, ускорения и др. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие формулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные результаты и т.п.), следует подробно излагать весь ход расчетов, обязательно указывая единицы измерения получаемых величин. На каждой странице нужно оставлять поля для замечаний рецензента.

 

ЗАДАЧИ

К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

СТАТИКА

 

З а д а ч а С1

Условия равновесия произвольной

плоской системы сил

 

Жесткая рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами или к шарнирной опоре на катках (рис. С1.0–С1.9).

Рис. С1.0	Рис. С1.1
Рис. С1.2	Рис. С1.3

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил

 

Рис. С1.4	Рис. С1.5
Рис. С1.6	Рис. С1.7
Рис. С1.8	Рис. С1.9

 

с моментом М = 60 кНм и две силы, величины направления и точки приложения которых указаны в табл. C1. В последнем столбце табл. С1 указан участок, на котором действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. Направление действия распределенной нагрузки на горизонтальном участке – вниз, на вертикальном – влево.

 

Т а б л и ц а С1

 

Номер усло-вия	Силы	Распределенная нагрузка q = 10 кН/м
F1 = 10 кН	F2= 20 кН	F3 = 30 кН	F4 = 40 кН
Точка приложения	a1	Точка прило-жения	a2	Точка прило-жения	a3	Точка прило-жения	a4	Участок приложения q
	H		–	–	–	–	K		KL
	–	–	D		E		–	–	LC
	K		–	–	–	–	E		KL
	–	–	K		H		–	–	LC
	D		–	–	–	–	E		KL
	–	–	H		–	–	D		LC
	E		–	–	K		–	–	KL
	–	–	D		–	–	H		LC
	H		–	–	D		–	–	KL
	–	–	E		K		–	–	LC

 

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.

Указания. При решении задачи С1 следует учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, будут одинаковыми, когда трением пренебрегают. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если составлять уравнение моментов относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента вектора силы часто удобно разложить ее на составляющие и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда m₀() = m₀() + m₀().

Пример решения задачи С1. Жесткая рама ABCD (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору и в точке D – подвижную шарнирную опору (на катках). Действующие нагрузки и размеры показаны на рис. С1. В точке Е к раме прикреплен трос с подвешенным грузом, вес которого P. На раму действуют сила F, пара сил с моментом M и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q (рис. С1).

Рис. С1

 

Д а н о: F = 30 кН, P = 25 кН, M = 40 кН^.м, q = 10 кН/м, a = 60°, g = 45, b = 30°, l = 0,5 м. а = 0,5 м.

О п р е д е л и т ь: реакции опор в точках А и D, вызываемые действующими нагрузками.

Р е ш е н и е

Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ху и покажем действующие на раму нагрузки: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя её составляющими, реакция шарнирной опоры D на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости). Равномерно распределенную нагрузку заменим равнодействующей сосредоточенной силой Q = q·2 l = = 10·2· 0,5 = 10 кН, вектор которой приложен к середине отрезка АЕ (точка L) и направлен в сторону действия нагрузки.

Для полученной плоской системы произвольных сил составим уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А разложим её на составляющие = F cosa и = F sin a:

åF_kx = 0, X_A + R_D sin b – F cos a – T sin g + Q = 0;

åF_ky = 0, Y_A + R_D cos b – F sin a + T cos g = 0;

åm_A( _k) = 0, –M + R_D cos b 2 l + F cos a 3 l – F sin a 2 l +

+ T sin g 2 l – Q l = 0.

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив затем эти уравнения, найдём искомые реакции связей: X_A = 4,89 кН; Y_A = –22,5 кН; R_D = 35,57 кН.

Выполним проверку правильности решения задачи. Составим уравнение моментов относительно точки D:

åm_D( _k) = 0, –M +F cos a 3 l – T cos g 2 l + T sing 2 l – Q l – Y_A 2 l =

= –40 + 30× 0,5 ×3× 0,5 – 25× 0,707×2 × 0,5 +

+ 25× 0,707 ×2 × 0,5– 10×0,5 – (–22,5)2 × 0,5 = 0.

Полученный результат говорит о том, что задача решена верно.

О т в е т: X_A = 4,89 кН;

Y_A = –22,5 кН;

R_D = 35,57 кН.

Знак «минус» перед величиной Y_A означает, что эта сила имеет направление, обратное указанному на рис. С1.

 

З а д а ч а С2

Условия равновесия пространственной системы

произвольных сил

 

Однородная прямоугольная плита весом Р = 3 кН со сторонами АВ = 3 l, ВС = 2 l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке Вцилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (С2.0–С2.9).

 

Рис. С2.0	Рис. С2.1

На плиту действуют две силы и пара сил, лежащая в плоскости плиты, с моментом М = 5 кН×м. Величины сил, их направления и точки приложения указаны в табл. C2; при этом силы и лежат в плоскостях,

Рис. С2.2	Рис. С2.3
Рис. С2.4	Рис. С2.5
Рис. С2.6	Рис. С2.7

параллельных плоскости xy, сила – в плоскости, параллельной xz, и сила – в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах соответствующих сторон плиты. Определить реакции связей в точках А, В, С. При расчетах принять l = 0,8 м.

 

Рис. С2.8	Рис. С2.9

 

Т а б л и ц а С2

Номер условия	Силы
F1 = 4 кН	F2 = 6 кН	F3 = 8 кН	F4 = 10 кН
y a1 x	z a2   x	z y a3	y a4 x
Точка прило-жения	a1, град	Точка прило-жения	a2, град	Точка прило-жения	a3, град	Точка прило-жения	a4, град
	D		–	–	E		–	–
	H		D		–	–	–	–
	–	–	E		–	–	D
	–	–	–	–	E		H
	E		–	–	H		–	–
	–	–	D		H		–	–
	–	–	H		–	–	D
	E		H		–	–	–	–
	–	–	–	–	D		E
	–	–	E		D		–	–

Указания. При решении задачи С2 следует учесть, что реакция сферического шарнира имеет три составляющие, а реакции цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям, тогда по теореме Вариньона m_х() = m_x() + m_x() и т.д.

Пример решения задачи С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена в точке А сферическим шарниром, в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и невесомым стержнем Д , лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости yz), сила (параллельная оси x) и пара сил с моментом М (лежащим в плоскости плиты).

Рис. C2

 

Д а н о: P = 5 кH; M = 3 кHм; F₁ = 6 кH; F₂ = 7,5 кH; a = 30°; AB = 1 м; BC = 2 м; ВE = АЕ; АK = КД.

О п р е д е л и т ь: реакции опор А, В и стержня Д .

Р е ш е н и е

Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы Р, F₁, F₂ и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие цилиндрического шарнира (подшипника) – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он сжат.

Для действующей на плиту пространственной системы произвольно расположенных сил составляем уравнения равновесия:

åF_kX = 0, X_A + X_B – F₂ = 0;

åF_kY = 0, Y_A + Y_B – F₁ cos a + S_Д sin 30° = 0;

åF_kZ = 0, –Z_A + S_Д cos 30° + F₁ sin a – P = 0;

åm_X() = 0, –S_Д sin 30°× AB + F₁ cos a ×AB – Y_A ×AB = 0;

åm_Y() = 0, –S_Д cos 30°×BC – F₁ sina + X_A×AB –

– F₂ + M = 0;

åm_Z() = 0, S_Д sin 30° ×BC – F₁ cos a = 0.

Для определения момента силы относительно оси Y разложим вектор на составляющие , параллельные осям Y и Z, = F₁ cos a, = F₁ sin a и применим теорему Вариньона (см. указания). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив затем эти уравнения, найдём, чему равны искомые реакции связей.

О т в е т: X_A = 7,8 кH; Y_A = 2,6 кH; Z_A = 2,5 кH; Y_B = 0 кH; X_B = –0,3 кH; S_Д = 5,2 кH.

Знак «минус» указывает на то, что сила направлена противоположно силе, показанной на рис.С2.

Для проверки правильности решения задачи можно составить дополнительное уравнение суммы моментов относительно любой другой оси (например, для оси Y'), которое должно быть равно нулю.

 

 

КИНЕМАТИКА

 

З а д а ч а К1

Кинематика точки

 

Движение точки в плоскости xy задано уравнениями x = f₁(t), y = f₂(t), где x и y – в метрах, t – в секундах (табл. К1, К1а). Найти и изобразить траекторию точки (линию, которую точка описывает при своем движении, считая, что движение начинается в момент времени t = 0). Определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t = 1 с и радиус кривизны в соответствующей точке в этот же момент времени.

 

Т а б л и ц а К1

 

Предпоследняя цифра шифра	Уравнение движения точки x = f1(t)	Примечания
	4 cos (πt/6)	y = f2(t) для вариантов от 00 до 29 (две последние цифры шифра) взять из столбца 2 табл. К1а
	2 – 4cos (πt/6)
	2 cos (πt/6) – 3
	4 – 2t	у = f2(t) для вариантов от 30 до 69 (две последние цифры шифра) взять из столбца 3 табл. К1а
	2 – t
	2 t
	t – 4
	8sin (πt/6) – 2	y = f2(t) для вариантов от от 70 до 99 (две последние цифры шифра) взять из столбца 4 табл. К1а
	2 sin (πt/6)
	2 – 4sin (πt/6)

 

Т а б л и ц а К1а

 

Последняя цифра шифра	Уравнение движения точки y = f2 (t)
Для вариантов от 00 до 29	Для вариантов от 30 до 69	Для вариантов от 70 до 99
	12 sin (πt/6)	2 t² + 2	4 cos (πt/6) – 2
	4 – 6 cos (πt/3)	8 sin(πt/4)	14 – 16cos (πt/6)
	–3 sin² (πt/6)	(2 + t)²	4 cos (πt/3)
	9 sin (πt/6) – 4	2 t³	–10 cos (πt/6)
	4 cos (πt/3) – 2	2 + 2 cos(πt/4)	–4 cos (πt/6)
	–10 sin (πt/6)	2 – 3t²	8 – 12 cos (πt/3)
	2 – 6 sin² (πt/6)	2 – 2 sin(πt/4)	2 cos (πt/6)
	2 sin (πt/6) – 2	(t + 1)³	2 – 8 cos (πt/3)
	8 cos (πt/3) + 5	2 – t³	8 cos (πt/6) – 4
	3 – 8sin ( πt/6)	4 cos(πt/4)	–8 cos (πt/3)

Указания. Задача К1 решается с помощью формул, по которым определяется скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t = 1с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть знакомые из тригонометрии формулы:

cos 2α = 1 – 2sin² α = 2cos² α – 1;

sin 2α = 2sin α × cos α.