Характеристиками колебательной системы с затуханием являются: декремент затухания, равный отношению амплитуд колебаний, отличающихся на период 
и логарифмический декремент затухания
,
где 
– число колебаний, которое совершает система за время затухания колебаний 
. Отсюда следует, что амплитуда затухающих колебаний может быть представлена в виде 
, где 
– число колебаний за время t. Декремент и логарифмический декремент затухания связаны соотношением 
.
Другой характеристикой является добротность колебательной системы Q, равная отношению энергии колебаний W(t)с множителем 
к ее потерям за период: 
. Учитывая что, 
и 
, получим
.
Добротность характеризует способность колебательной системы сохранять запасенную энергию. Чем она выше, тем лучше колебательная система сохраняет колебания.
Пример 1. Маятник за время 
совершил N колебаний, а за время 
их амплитуда уменьшилась в n раз. Найти логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.
Дано: 
. Найти: 
Решение: Период затухающих колебаний 
. Их амплитуда в момент времени равна 
. Тогда уменьшение амплитуды за время 
. Отсюда 
. Логарифмический декремент затухания 
. Если 
, то 
. Добротность колебательной системы 
.
Ответ: 
, .
Пример 2. Колебательная система с добротностью Q за некоторое время совершила N колебаний. Во сколько раз уменьшилась амплитуда ее колебаний за это время?
Дано: 
. Найти: 
Решение: Логарифмический декремент затухания 
. Амплитуда затухающих колебаний с учетом 
и равна 
. Откуда 
.
Ответ: 
.
Пример 3. Математический маятник длиной l имеет логарифмический декремент затухания δ. Найти коэффициент затухания колебаний, частоту и период затухающих колебаний.
Дано: l, g, δ. Найти: 
Решение: Частота собственных колебаний маятника 
. Логарифмический декремент затухания 
. Откуда 
. Частота затухающих колебаний 
. Ответ: 
, 
, 
.
Вынужденные колебания
Если на колебательную систему действует внешняя переменная сила 
, то она совершает вынужденные колебания. Если внешняя сила периодическая: 
, то уравнение вынужденных колебаний в системе с линейной силой трения имеет вид
, где 
. Решением этого уравнения в режиме установившихся колебаний (рис.75), происходящих с частотой ω вынуждающей силы, является функция
, где 
, 
.
Рис.75
Рис.77
График зависимости амплитуды колебаний 
от частоты 
вынуждающей силы называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) колебательной системы или резонансной кривой (рис.77). Амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение 
при частоте 
, близкой к собственной частоте 
колебаний системы, называемыми амплитудой резонанса и резонансной частотой, равными
, 
.
Частота 
находится из условия минимума подкоренной функции 
в зависимости .
Если на графике АЧХ провести на уровне 
прямую, параллельную оси частот, то она пересечет резонансную кривую в точках 
и 
, являющихся решением уравнения 
. Расстояние между этими точками 
называют шириной резонансной кривой (рис.77).
Рис.77
Если параметры и 
(или 
и 
) определены по АЧХ колебательной системы, то можно определить ее добротность
В опыте можно строить как АЧХ колебательной системы , так и зависимость 
, где 
– интенсивность колебаний, которая характеризует поглощение энергии колебаний колебательной системой, возбуждаемых внешней силой. С учетом 
и 
эти зависимости имеют вид
, 
,
где 
, 
. Полученная зависимость называется функцией Лоренца.
Пример 1. В опыте по АЧХ колебательной системы 
определена ее резонансная частота 
и ширина (Гц) на уровне . Найти время затухания колебаний, возбуждаемых в системе периодической силой, логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.
Дано: 
(Гц). Найти: 
Решение: Если колебания возбуждаются периодической силой, то ширина резонансной кривой на уровне равна 
. Откуда время затухания возбуждаемых колебаний равно 
. Ответ: , 
, 
.