Понятие комплексного числа
Рассмотрим квадратное уравнение x2 = – 1. Оно на множестве действительных чисел решений не имеет, так как корня квадратного из отрицательного числа не существует.
Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.
Мы пришли к введению понятия мнимой единицы i=√-1. Т.е. множество действительных чисел расширяется до множества комплексных чисел за счет мнимой единицы.
Давайте подробнее поговорим о ней и попробуем вычислить: i2, i4, i3, i5.
i2=-1, тогда i4=-1∙(-1)=1
i3=i2∙i=-1∙i=-=-i, i5=i4∙i=1∙i =i
Определение. Комплексным числом называется число вида a+bi, где a и b – действительные числа, i –мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа, число b называется мнимой частью комплексного числа.
a+bi - это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.
Несмотря на то, что с комплексными числами оперировать ничуть не сложнее, чем с действительными, но до начала XIX века комплексные числа рассматривались как очень сложные, почти мистические объекты.
История возникновения комплексных чисел была самой сложной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался.
«Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться, как всем действовать над такими числами.
А название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р.Декарт.
В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы), т.е. i2=-1.
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.
Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.
Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами.
Задание.
Назовите действительную и мнимую части чисел:
а) 2-3i
б) 4+6i
в) 3i+9
г) 5i
д) -91i
Вывод: Любое действительное число можно назвать комплексным с мнимой частью равной 0!
Свойства:
1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+0 i или a–0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5.
2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.
3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d.
Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1. Сложить два комплексных числа Z1=2+5i, Z2=4-3i
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Z1+Z2=6+2i
Пример 2. Самостоятельно: Z1=-4+10i, Z2=5+3i.Ответ: Z1+Z2=1+13i
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Вычитание комплексных чисел
Пример 3. Найти разности комплексных чисел и, если, Z1=10-25i, Z2=1-3i
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Z1-Z2=10-25i -(1-3i)=9-22i
Пример 4. Z1=-5+10i, Z2=1+3i. Ответ: Z1-Z2=-6+7i
Умножение комплексных чисел
Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что i2=-1.
Z1∙Z2= Z2∙Z1 – от перестановки множителей произведение не меняется.
Пример 5. Найти произведение комплексных чисел Z1=1-i, Z2=3+6i.
Ответ: Z1 ∙ Z2=(1-i)∙(3+6i)=9+3i.
Пример 6. Самостоятельно: Z1=5-2i, Z2=1-4i. Ответ: Z1∙Z2=-3-22i
Пример 7. Самостоятельно: (2+ 8i)(2 – 8i)= 22 + 82
Вывод: (a+ bi)(a – bi) = a2 + b2. Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.
Деление комплексных чисел
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение. Помним, что (а+b)(a-b)=a2-b2.
Пример 8. Найти частное чисел z1=13+i, z2=7-6i.
Пример 9. Вычислить: (2-i):(3+2i).
.