Граничные условия на
Поверхности раздела сред
При решении практических задач электродинамики помимо уравнений Максвелла необходимо также знать граничные условия, т.е. знать соотношения между векторами поля в двух очень близких точках, находящихся по обе стороны границы раздела сред. Если на границе между различными материальными средами параметры среды e, m, s скачкообразно изменяются, то, очевидно, векторные функции 
, 
, 
и 
будут иметь разрывы. Определить характер этих разрывов и означает задать граничные условия на поверхности раздела сред. Поскольку разрывные функции нельзя дифференцировать, то для нахождения соотношения поля на границе раздела, необходимо использовать интегральные уравнения Максвелла и предельные переходы.
 |
Граничные условия для нормальных
составляющих векторов электромагнитного поля
Формулируется закон поведения нормальных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред.
|
 |
Рассмотрим плоскую границу раздела двух сред с параметрами ea1, ma1, s1 и ea2, ma2, s2. На поверхности раздела сред выделим достаточно малый элемент DS, в пределах которого в обеих средах нормальные составляющие вектора
равномерно распределены. На основании DS построим цилиндр с высотой h так, чтобы его основания находились в разных средах, как показано на рис.2.1.
Используем 3-е уравнение Максвелла в интегральной форме:
,
где: 
– единичный вектор, нормальный к 
; 
– нормаль к .
Разобьем интеграл по замкнутой поверхности S, ограничивающий объем V, на три интеграла:
.
Устремим высоту цилиндра h к нулю, тогда:
ΔS1 и ΔS2 ® ΔS; Sбок = h×DS ® 0;
; 
,
где: rS – поверхностная плотность заряда на границе раздела сред.
Учитывая это, получаем: 
.
Определим теперь нормальные составляющие вектора . Из рис.2.2 очевидно, что:
.
Наконец, считая площадку ΔS настолько малой, что на этой площади вектор практически не изменяется, получим:
.
Окончательно: 
, или
D1n – D2n = rS. (2.1)
Нормальная составляющая вектора электрической индукции при переходе через граничную поверхность претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда.
Поскольку из материальных уравнений 
то, следовательно, граничные условия для нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля будут иметь вид:
eа1Е1n - eа2Е2n = rS. (2.2)
Если граничная поверхность не заряжена, то компонента Dn на основании (2.1) непрерывна при переходе из среды 1 в среду 2, а компонента En терпит разрыв, величина которого определяется соотношением диэлектрических проницаемостей сред:
(при rS = 0).
Рассмотрим теперь граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля. Для этого по аналогии охватим обе среды цилиндром с объемом V и используем 4-ое уравнение Максвелла в интегральной форме:
.
Разобьём замкнутый интеграл по поверхности на три интеграла:
.
Устремим h ® 0 тогда:
.
Наконец, учитывая постоянство на площадке из-за малости последней, получим для нормальных составляющих:
,
или B1n – B2n = 0. (2.3)
Нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела двух сред остается непрерывной.
Поскольку из материальных уравнений 
то, граничные условия для нормальных составляющих вектора напряженности магнитного поля имеют вид:
mа1Н1n = mа2Н2n. (2.4)
Нормальная составляющая вектора на границе сред терпит разрыв, величина которого равна отношению абсолютных магнитных проницаемостей сред.
|