Векторные диаграммы в физике и электротехнике.

Лекция

Тема: Решение уравнений с комплексными числами. Векторные диаграммы в физике и электротехнике.

Решение уравнений с комплексными числами.

В предыдущей лекции мы рассмотрели действия с комплексными числами.

Решим уравнения с комплексными коэффициентами.

Пример 1

Решить уравнение

Упрощаем среднюю дробь:

Результат переносим в правую часть и находим разность:

По правилу пропорции выражаем «зет»:

Ответ:

Решим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения

Решение: Для удобства выпишем коэффициенты:

Вычислим дискриминант:

Корень будем искать в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:

Систему проще решить подбором.

Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:

проверка:
.

В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:

Находим корни, не забывая, что :

Ответ:

Векторные диаграммы в физике и электротехнике.

Переменный ток и напряжение описываются синусоидальной функцией. Известно, что синусоидальную функцию можно изобразить вектором, а вектор в свою очередь можно представить комплексным числом. Таким обра­зом, синусоидальные токи и напряжения, характеризующие установившийся режим цепи переменного тока, могут быть представлены комплексными чис­лами:

Напряжение и ток. Имеется уравнение. В электротехнике за длину вектора берется не максимальное, а действующее значение. Оно обозначается большой буквой U без индекса и вычисляется путем деления максимального значения на . Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом и обозначается прописной буквой с точкой наверху. Комплекс напряжения можно написать в трех формах алгебраической –

тригонометрической – и показательной –

Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части. Аналогично для тока:; ….

Задача 1. Дано: ток в комплексной форме Написать уравнение тока.

Решение. Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

 

Сопротивление и проводимость. Имеется цепь (рис. 1): r – активное сопротивление (лампа накаливания); – индуктивное сопротивление (катушка); z – общее сопротивление цепи, называемое полным.

 

 

Рис.1 Рис.2 Сопротивления r,, z образуют прямоугольный треугольник сопротивления (рис. 2). Угол – угол сдвига фаз. Сопротивления не являются синусоидальными величинами, однако отрезок z может быть выражен комплексным числом, считая, что отрезок r откладывается по оси вещественных чисел, а отрезок – по оси мнимых чисел. Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой Z.

Векторная диаграмма – это совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидальные функции времени одной и той же частоты, построенных с соблюдением их начальных фаз.

Поскольку расчет электрических цепей синусоидального переменного тока ведется, как правило, с использованием метода комплексных чисел, то и векторные диаграммы так же строятся на комплексной плоскости.

Векторные диаграммы чаще всего выполняют совмещенными, то есть на одной комплексной плоскости откладывают векторы токов и напряжений для отдельных участков цепи. При этом необходимо выбрать масштабы для то- ков и напряжений. Следует отметить, что для токов может быть выбран один масштаб, а для напряжений – другой. Это никоим образом не искажает об- щей картины, поскольку векторная диаграмма дает представление о взаимном расположении векторов и позволяет судить о наличии сдвига фаз между током и напряжением на отдельных участках электрической цепи.

Из курса высшей математики известно, что над векторами можно производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение на число и деление на число.

В электротехнике принято с помощью векторной диаграммы складывать или вычитать векторы. Очевидно, что эти действия можно производить над векторами, обладающими одинаковой размерностью.

 

а) б)

Рис. 3

На рис. 3а) показано сложение двух комплексных токов по правилу параллелограмма. А на рисунке 3 б) – вычитание комплексного напряжения.

Цель построения векторной диаграммы заключается в том, чтобы иметь возможность качественно контролировать аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока.

Например, на векторной диаграмме напряжение на индуктивности должно опережать протекающий через нее ток на 90^о, а на емкости напряжение должно отставать от тока на 90^о.

Эти и другие возможные варианты соединения элементов отдельных участков электрических цепей, их сопротивления и значения (пределы изменения) углов сдвига фаз приводятся в табл.1.1

 

Обратите внимание, что:

Отсчет угла сдвига фаз всегда ведется от вектора тока. Если расчет дает результаты, не совпадающие с положениями табл.1.1, то, следовательно, в него вкралась ошибка.

Векторная диаграмма позволяет зафиксировать положение вращающихся векторов для определенного момента времени. В электротехнике при- нято, что векторная диаграмма строится для момента времени t = 0. Построение векторной диаграммы для любого другого момента времени может при- вести к изменению положения векторов относительно осей комплексной плоскости, однако взаимное расположение векторов останется неизменным