Сезонно-декомпозиционная модель Холта-Винтера.

Используется для описания комбинации линейного и сезонно-аддитивного тренда. Модель предполагает, что характеристики временного ряда – стационарность, линейность и сезонность – могут быть разделены, изучены и оценены изолированно. Окончательный прогноз осуществляется сведением прогнозов различных элементов в один.

а) Оценка стационарного фактора:

, (2.55)

б) Оценка линейного роста:

, (2.56)

в) Оценка сезонного фактора:

, (2.57)

где - коэффициент сезонности, соответствующий моменту времени t,

- коэффициент сезонности, соответствующий моменту времени t-L, то есть сдвинутому на L моментов времени назад. L – длина сезонного цикла или количество временных отрезков в цикле (для месяцев L=12, для кварталов L=4).

Коэффициент сезонности представляет собой отношение значения текущего наблюдения к среднестационарному значению показателя. Коэффициент сезонности можно найти по формуле

, (2.58)

при этом для расчета стационарного фактора можно использовать формулу (2.37), если среднее значение показателя за год меняется незначительно, и по формулам (2.44), (2.52), если среднее значение показателя имеет тенденцию к росту.

Рекомендуемые значения констант для формул (2.55) – (2.57): А=0,2; В=0,2; С=0,5.

Прогноз на t моментов времени вперед, составляющие которого определены по формулам (2.55) – (2.57), рассчитывается по формуле

. (2.59)

При использовании модели Холта-Винтера рекомендуется следующий алгоритм расчета. По данным динамики показателя за предыдущий год рассчитывают оценки коэффициентов сезонности (2.58). В качестве момента времени t=1 принимают значение показателя в январе или I квартале года, предшествующего текущему. Затем по формулам (2.55) – (2.57) находят оценки стационарного фактора, линейного роста и коэффициентов сезонности для текущего года. Прогноз осуществляется на базе найденных составляющих элементов по формуле (2.59), где обозначение коэффициента сезонности соответствует коэффициенту сезонности для того же месяца или квартала, но предыдущего года, например, делая прогноз на май 2013 года, необходимо использовать значение коэффициента сезонности, рассчитанное для мая 2012 года.

Методы моделирования

В настоящее время моделирование считается наиболее эффективным методом прогнозирования. Алгоритм построения экономико-математической модели включает следующие этапы:

1. формулировка цели прогнозного исследования;

2. выделение в объекте прогнозирования структурных элементов, оказывающих влияние на характер и динамику его развития;

3. выявление внешних факторов, влияющих на развитие объекта прогнозирования;

4. логическое описание взаимосвязей между элементами объекта прогнозирования, внешними и результирующими факторами (построение информационной модели);

5. формализация (математическое описание) взаимосвязей между элементами объекта прогнозирования, внешними и результирующими факторами (показателями);

6. проведение расчетов, корректировка и уточнение модели.

Экономико-математические модели имеют следующие преимущества:

- возможность отражения многосторонних связей между результирующими и влияющими факторами;

- возможность использования экономико-математических моделей при управлении экономическими процессами и при поиске наиболее эффективных (оптимальных) управленческих решений.

В соответствии с математической формой построения выделяют следующие типы экономико-математических моделей:

- экономико-статистические;

- структурные;

- оптимизационные;

- имитационные и др.

В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, межрайонные, отраслевые, региональные модели и модели микроуровня (модели развития фирмы).

По аспектам развития экономики выделяют модели прогнозирования воспроизводства основных фондов, трудовых ресурсов, цен и др.

Экономико-статистические модели представляют собой вид моделей, описывающих с помощью уравнений регрессии зависимости между входными и результирующими факторами. Различают однофакторные и многофакторные модели. Многофакторные модели позволяют изучать влияние на объект прогнозирования нескольких факторов, однофакторные – одного. Начальным этапом построения модели является отбор влияющих факторов. Влияние факторов может описываться уравнениями следующих видов:

- линейные

- степенные

- логарифмические

Основным объектом прогнозирования в рыночной экономике является спрос населения на товары потребления. Среди факторов, обусловливающих спрос, можно выделить среднедушевой денежный доход потребителей и цену товара. Существует большое количество экономико-статистических моделей спроса () как функции цены единицы товара () и среднедушевого денежного дохода (). Например, для товаров длительного пользования часто используются следующие модели:

- ;

- .

Однако применение данных моделей затруднено тем, что, зачастую отсутствуют статистические данные об уровнях дохода и ценах, относящиеся к одному временному периоду. В этом случае используются однофакторные модели спроса от цены или среднедушевого дохода. Установлено, что при неизменном уровне душевого дохода для большинства товаров спрос увеличивается с уменьшением цены. В свою очередь рост среднедушевого дохода, как правило, вызывает рост спроса на товары и услуги (за исключением дешёвых и низкокачественных).

Экономико-статистические модели являются одним из основных инструментов управления социально-экономическими процессами и часто используются при поиске наиболее эффективных решений.

Пример. Фабрика «Первомайская» является крупным производителем мяса птицы в регионе. Статистическая информация об объёмах реализации продукции фабрикой за первые 3 квартала 2010 года представлена в табл. 2.5. Определить цену реализации мяса птицы, оптимизирующую прибыль предприятия, если прямые затраты на производство 1 кг. составляют 29 руб.

Таблица 2.5

Объём реализации мяса птицы за первые 3 квартала 2008 г.

Квартал	Объём реализации, кг.	Цена реализации мяса птицы, руб./кг.

Решение:

Для описания влияния цены продукции () на объем её реализации () используем линейную экономико-статистическую модель вида:

Параметры модели и определим с помощью метода наименьших квадратов:

(2.37)

или

Расчёты сведём в табл. 2.6.

Таблица 2.6

Результаты расчёта параметров модели

Квартал,	Объём реализации мяса птицы,	Цена реализации,



Всего,

После подстановки результатов расчетов в систему уравнений, имеем:

Решая систему уравнений, находим коэффициенты: Окончательно, модель имеет вид:

Выручка от реализации продукции определяется как произведение цены на объем реализации:

. (2.38)

Или, подставляя вместо объема реализации полученную экономико-статистическую модель, имеем:

Общие затраты на производство продукции складываются из постоянных и переменных затрат, где - прямые затраты на изготовление единицы продукции (в нашем случае руб.). Таким образом, общие затраты на производство продукции:

Прибыль фабрики находится как разность между выручкой и затратами на производство:

или, после преобразований: .

Известно, что функция имеет экстремум если её производная по искомому параметру равна нулю. В нашем случае искомым параметром является цена реализации продукции, поэтому:

и оптимальная цена реализации продукции:

руб.

Прогнозируемый объем реализации мяса птицы при цене 50 руб./кг.:

кг.

Приведенный выше пример иллюстрирует использование самой простой – линейной однофакторной модели. На практике же широкое применение нашли более сложные – многофакторные модели. Соответственно и применение многофакторных моделей для решения практических задач требует более громоздких расчетов, (осуществляемых, как правило, с использованием вычислительной техники) и более высокой квалификации разработчиков.

Структурные (эконометрические) модели используются для анализа и прогнозирования сложных экономических объектов на макроэкономическом или микроэкономическом уровне и представляют собой систему регрессионных уравнений и тождеств, описывающих взаимосвязи основных параметров и характеристик развития объекта прогнозирования.

Структурные модели имеют следующие достоинства:

- позволяют исследовать комплексное воздействие различных факторов на развитие объекта прогнозирования;

- дают возможность получения взаимосбалансированных прогнозов по большому числу показателей;

- при использовании вычислительной техники появляется возможность проведения многовариантных расчетов.

К недостаткам структурных моделей следует отнести:

- высокую стоимость работ, обусловленную необходимостью привлечения высококвалифицированных специалистов для формирования и обработки больших массивов исходной информации;

- структурная модель более пригодна для прогнозирования устоявшихся процессов и малопригодна для прогнозирования процессов, развитие которых носит циклический характер.

Начальным этапом структурного моделирования является построение информационной модели. Например, при прогнозировании развития предприятия основным плановым показателем является прибыль, и соответственно, укрупненная информационная модель может иметь вид представленный на рис. 2.4.

Вторым этапом моделирования является формализация (математическое описание) взаимосвязей между параметрами модели. Введем обозначения: прибыль – П; выручка – В; затраты – З; Объем реализованной продукции – О; цена продукции – Ц; затраты на материалы – М; затраты на заработную плату – З; затраты на рекламу – Р; прочие затраты – Пр; показатель качества продукции – К; доходы населения – Д. Эмпирические коэффициенты уравнений регрессии обозначим и .

Для математического описания взаимосвязей между параметрами модели будем использовать линейные модели.

Выручка

Цена

Объем

Материалы

Зарплата

Качество

Прочие

Доходы

населения

Рис. 2.4. Информационная модель формирования прибыли предприятия

Система уравнений, описывающая взаимосвязи между параметрами модели и внешними влияющими факторами будет иметь следующий вид:

На третьем этапе на основе обработки статистической информации определяются значения эмпирических коэффициентов и .

На заключительном этапе, подставляя в уравнения внешний фактор – доходы населения и изменяя цену реализации продукции, рекламные расходы и материалы изготовления продукции (т.е. материальные затраты) проводятся многовариантные расчеты таких параметров как прибыль, качество продукции, ожидаемый объем реализации. Полученная в ходе расчетов информация анализируется, после чего выбирается наиболее рациональный вариант развития предприятия.

Разработка структурных моделей - очень трудозатратный и дорогостоящий процесс но, несмотря на это, структурные модели находят все большее применение в разных сферах деятельности (в основном благодаря интенсивному развитию вычислительной техники, произошедшему за последнее десятилетие).

Оптимизационная модель представляет собой модель математического программирования, состоящую из целевой функции и системы ограничений в форме уравнений или неравенств, и направлена на поиск наиболее эффективного (оптимального) управленческого решения при соблюдении установленных ограничений.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от искомых переменных. На макроуровне критерием оптимальности может являться максимум валового национального дохода, максимум среднедушевого денежного дохода. На микроуровне: максимум прибыли предприятия, минимум затрат и др.

Например, общий вид модели для расчета оптимального варианта производства продукции на предприятии:

Целевая функция:

Система ограничений:

ограничения по сбыту

ограничения по мощности

ограничения по снабжению

условие неотрицательности

где - цена реализации единицы товара -го вида;

- затраты на изготовление единицы товара -го вида;

- количество товара -го вида, подлежащее изготовлению;

- обязательный минимальный объем производства товара -го вида, обусловленный необходимостью выполнения уже заключённых договоров или необходимостью сохранения своего присутствия с минимальным предложением на рынках, привлекательных в долгосрочном периоде;

- максимально возможный объём реализации товара -го вида;

- норма затрат времени по изготовлению единицы товара -го вида на оборудовании -го вида;

- фонд рабочего времени на оборудовании -го вида;

- нора затрат материала -го вида на изготовление единицы товара -го вида;

- имеющийся фонд -го вида сырья.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный и стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных параметров. Стохастические (вероятностные) модели в отличие от детерминированных описывают случайные процессы, в которых результат всегда остаётся неопределённым. В настоящее время разработано большое количество программных пакетов, позволяющих решать сложные оптимизационные задачи на основе ЭВМ.

Пример. Малое предприятие изготавливает и реализует два вида продукции. Количество ресурсов, имеющихся на складе предприятия и нормы их затрат на изготовление продукции представлены в табл. 2.7:

Таблица 2.7

Ресурсы предприятия и нормы их затрат

Ресурс	Норма затрат ресурсов, кг	Количество ресурсов, кг
Продукция 1-го вида	Продукция 2-го вида

Прибыль от реализации продукции 1-го вида – 2 руб/шт., 2-го вида – 3 руб/шт. Сколько продукции каждого вида следует изготовить, чтобы получить максимально возможную прибыль.

Решение:

Обозначим искомое количество продукции первого вида , а второго вида , тогда целевая функция, максимизирующая прибыль предприятия будет иметь вид:

Система ограничений:

Наиболее простой и быстрый путь решения данной задачи – использование средств ЭВМ. Более трудоёмкий способ решения – графический.

По осям отложим количество продукции и . Построим линии ограничения (на графике они пронумерованы соответственно номерам неравенств в модели). Область возможных значений объёмов производства продукции заштрихована пунктирными линиями. Оптимальному варианту производства продукции соответствуют либо координаты точки А или координаты точки К (рис. 2.5).

600 1

400 К

300

400 600 800

Рис. 2.5. Графическое решение оптимизационной задачи

Найдем координаты точек А и К.

Для точки А: , подставляя в неравенство 1 или 2 имеем .

Прибыль

Для точки К , подставляя в неравенство 2 имеем .

Прибыль

Наибольшая прибыль соответствует точке А.

Ответ: Необходимо изготовить 400 единиц продукции первого вида и 200 второго.

Особенностью оптимизационных моделей с которой приходится считаться при их использовании является однокритериальность. То есть поиск лучшего решения осуществляется по одному критерию. В то же время большинство социально-экономических процессов характеризуется системой показателей. Поэтому при математическом описании сложных, протекающих во времени экономических процессов, характеризуемых несколькими показателями часто используются имитационные модели.

Имитационными называются модели, воспроизводящие реальные соотношения между экономическими показателями, описывающими прогнозируемый объект.

В настоящее время имитационные модели разрабатываются как программы для ЭВМ, позволяющие с помощь средств вычислительной техники «проигрывать» (проводить много вариантные расчёты) развития сложных систем. Имитационная модель учитывает временной фактор и наряду с математическими моделями, имитирующими прогнозируемый процесс, содержит блоки, в которых решения принимаются человеком (прогнозистом). Имитация процессов организуется в форме диалога и у прогнозиста имеется возможность на каждом этапе принятия решения, анализируя и оценивая последствия принятия того или иного решения выбрать самое рациональное, по его мнению, решение.

В последние годы имитационные модели находят все более широкое применение для имитации экономических процессов, в которых сталкиваются различные интересы, типа конкуренции на рынке.

Имитационные модели, как и структурные модели, требуют больших трудозатрат на их разработку и высокой квалификации специалистов.

Модели теории игр направлены на математическое описание и выбор решений в конфликтных ситуациях, при которых интересы участников либо противоположны (антагонистические игры), либо не совпадают, хота и не противоположны (игры с противоположными интересами). Для конфликтных ситуаций характерно то, что ни одна из сторон не может полностью контролировать ситуацию и эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, зависит от действий другой стороны.

Теория игр впервые была систематически изложена О.Моргенштерном и Дж. фон Нейманом в 1944 году и содержала в основном экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. В СССР аппарат теории игр для разрешения экономических конфликтов практически не использовался, так как, директивная система планирования исключала наличие конфликтных ситуаций в экономике. С переходом к рыночным отношениям применение моделей теории игр для оценки конфликтных ситуаций и принятия решений в условиях неопределённости стало актуальным.

Содержание игры заключается в том, что каждый из её участников выбирает такую стратегию действий, которая, как он полагает, обеспечивает ему максимальный выигрыш (минимальный проигрыш). Стратегию игрока называют оптимальной, если при её применении выигрыш данного игрока не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался его противник. Результаты принимаемых решений заносятся в специальную таблицу, которая называется матрицей игры или платёжной матрицей. При поиске оптимальных стратегий в теории игр игроки опираются на принцип максимальной осторожности. Данный принцип гласит, что каждый игрок, считая партнёра по игре высоко интеллектуальным соперником, выбирает свою стратегию в предположении о том, что соперник не упустит ни единой возможности использовать его ошибку в своих интересах.

В экономической практике часто приходится придавать игровую форму таким ситуациям, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют статистическими или играми с «природой», понимая под «природой» всю совокупность внешних обстоятельств. В играх с «природой» степень неопределённости для сознательного игрока возрастает, так как «природа», будучи индеферентной в отношении выигрыша, может предпринимать и такие ответные действия, которые ей совершенно не выгодны.

Рассмотрим игровую ситуацию, в которой игроки и должны принять с каждой стороны по одному решению из трёх возможных. Результаты принимаемых решений (выигрыши игрока ) занесены в платёжную матрицу (табл. 2.8).

Действия игрока :

1. Определяется для каждого решения минимальное значение , ожидаемого выигрыша . Для нашего случая .

2. Из всех возможных выигрышей игрок выбирает максимальное значение , т.е. . Это .

Число называется нижней чистой ценой игры.

Действия игрока :

1. Определяется для каждого решения максимально возможный проигрыш . Для нашего случая .

2. Из всех проигрышей игрок выбирает минимальное значение , т.е. . Это .

Число называется верхней чистой ценой игры.

Таблица 2.8

Платёжная матрица



		7

Таким образом, в нашей игровой ситуации имеется «седловая» точка - наименьшая в строке и наибольшая в столбце, и соответственно, игроку следует принять 1 решение, а игроку - 2.

Однако на практике достаточно часто возникают игровые ситуации, не имеющие чётко выраженных «седловых» точек. Платёжная матрица такой ситуации представлена в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Платёжная матрица

В этом случае игрокам необходимо использовать смешанные стратегии. Обозначим через вероятности, с которыми игрок принимает свои решения ( ). Обозначим через вероятности, с которыми игрок принимает свои решения ( ). Тогда величина выигрыша будет являться функцией от вероятностей принимаемых решений:

. (2.45)

Для нашего случая:

Обозначим оптимальные смешанные стратегии:

По аналогии с предыдущей ситуацией для «седловой» точки (наименьшая в строке и наибольшая в столбце) должно выполняться неравенство:

(2.46)

«Седловую» точку при оптимальных смешанных стратегиях называют ценой игры: , т.е.:

. (2.47)

Проведём преобразования:

;

Разделим обе части неравенства на цену игры :

Введём обозначения: , .

Тогда неравенство будет иметь следующий вид:

Таким образом, наша игровая ситуация сводится к решению оптимизационной задачи. Игрок , стремясь увеличить свой выигрыш, должен минимизировать величину обратную своему выигрышу:

. (2.48)

При выполнении ограничений:

. (2.49)

Игрок , наоборот, стремится сделать свой проигрыш меньше, а значит величину больше. Для игрока задача запишется в следующем виде:

, (2.50)

. (2.51)

Для игрока в рассматриваемой игровой ситуации:

Решая данную задачу, получаем , .

. .

Оптимальная смешанная стратегия:

Пример Фермерское хозяйство выращивает картофель и пшеницу на площади 100 Га. Прибыль, получаемая от реализации 1 тонны картофеля –500 руб., от 1 т. пшеницы – 3000 руб. Урожайность культур зависит от погодных условий. В засушливое лето урожайность картофеля – 15 т/га, пшеницы – 3 т/га. В дождливое лето урожайность картофеля – 24 т/га, пшеницы – 2 т/га. Определить какую площадь фермерскому хозяйству необходимо отвести под картофель и пшеницу.

Решение:

1. Если на площади 100 Га посадить только картофель, то ожидаемая прибыль составляет:

- в засушливое лето руб.,

- в дождливое лето руб.

2. Если на площади 100 Га посадить только пшеницу, то ожидаемая прибыль составляет:

- в засушливое лето руб.,

- в дождливое лето руб.

Заполним платёжную матрицу (табл. 2.10).

Если был посажен картофель, и сложилось дождливое лето, наш проигрыш будет равен 0 (мы приняли наилучший вариант решения для сложившихся погодных условий).

Если был посажен картофель, и сложилось засушливое лето, наш проигрыш составит руб. (был принят не лучший вариант решения, при посадке пшеницы в засушливое лето мы получили бы 900000руб. прибыли, а так только – 750000руб.).

Если была посажена пшеница, и сложилось дождливое лето, наш проигрыш составит руб. (при посадке картофеля мы получили бы 1200000 руб.).

Если была посажена пшеница, и сложилось дождливое лето, наш проигрыш будет равен 0.

Таблица 2.10

Платёжная матрица

Вариант решения	Погодные условия
Дождливое лето	Засушливое лето
Картофель		-150000
Пшеница	-600000