Программа курса__Математика__




Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный университет» (НГУ)

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР НГУ

 

УТВЕРЖДАЮ:

Председатель Ученого совета СУНЦ НГУ

д.ф.-м.н., профессор Н.И. Яворский

___________________________

Программа курса__Математика__

для _одногодичного потока_ на _2009-2010 учебный год.

Лектор: Пальчунов Дмитрий Евгеньевич, профессор, д.ф.-м.н., доцент

Аннотация программы

Учебная дисциплина «Математика» имеет своей целью: обучение школьников основам современной математики, формирование у школьников системного подхода к решению теоретических и практических задач, понимания места математики среди других наук, умения применять математические знания для решения задач из других областей науки – физики, химии, биологии и др; формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики; развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;воспитание средствами математики культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса.

В результате обучения учащиеся будут способны знать/понимать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время границы применимости математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии; универсальный характер законов математической логики, их применимость во всех областях человеческой деятельности, четко различать следствия и эквивалентность в проводимых логических рассуждениях; вероятностный характер многих моделей при изучении сложных процессов окружающего мира.

В результате освоения программы учащиеся будут уметь: выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах; проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, обращать внимание на сохранение равносильности; вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования; определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; строить эскизы графиков изученных функций; описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы; исследовать функции на монотонность и непрерывность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики элементарных функций и их комбинаций с использованием аппарата математического анализа; вычислять в простейших случаях площади с использованием первообразной; решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы; составлять уравнения и неравенства по условию задачи; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод; изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем; решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов; распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, сопровождая построения доказательствами; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды; решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, величин углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Обучаемые по программе «Математика» будут способны использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: практических расчетов по формулам, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства; решать простейшие прикладные задачи на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения; построения и исследования простейших математических моделей, в том числе и социально-экономической направленности; анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; анализа информации статистического характера; исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства; описания с помощью функций различных зависимостей, интерпретации графиков.

Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, контрольные работы, самостоятельная работа учащихся.

Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий контроль успеваемости в форме контрольных работ, месячного балла, промежуточный контроль в форме зачета. Формы итогового контроля определяются решениями Ученого совета, действующими в течение текущего учебного года.

Программой дисциплины предусмотрены: 68 часов лекционных и 204 часов практических занятий за один год обучения.


 

Содержание программы

Лекции

 

 

I СЕМЕСТР

 

 

1. Множества и операции над ними.

Понятие множества. Числовые множества. Кванторы. Операции над множествами. Изображение множеств в виде диаграмм. Теоретико-множественные тождества.

2. Логика высказываний.

Таблицы истинности. Тождественно истинные формулы. Связь тождеств теории множеств и логики высказываний.

3. Техника дифференциального и интегрального исчисления.

Понятие предела функции. Непрерывные функции. Производная. Арифметические операции, таблица производных. Интегральное исчисление, таблица неопределённых интегралов. Метод замены переменных, интегрирование по частям. Определённый интеграл, свойства. Метод замены переменных, интегрирование по частям.

4. Свойства функций на вещественной прямой.

Функции и способы их задания. График функции. Линейная функция. Чётные, нечётные, периодичные функции. Свойства периодичных функций. Теорема о множестве периодов функции, имеющей данный наименьший период. Периодичность композиции. Сумма, произведение, частное периодичных функций. Целая и дробная часть числа.

5. Понятие соответствия и функции. Обратные функции.

Декартово произведение. Декартова система координат. Отношения и соответствия. Отображения. Область определения, множество значений, образ, прообраз, композиция отображений, взаимно-однозначное отображение. Обратное соответствие, обратная функция, обратимая функция. График обратной функции. Критерий обратимости. Достаточное условие обратимости.

6. Показательная и логарифмическая функции.

Степенная функция, определение, свойства и графики показательной функции. Определение, свойства и графики логарифмической функции.

7. Тригонометрические функции.

Определение, свойства и графики тригонометрических функций. Определение и свойства обратных тригонометрических функций.

8. Натуральные числа.

Отношение эквивалентности и факторизация, фактор-множество. Мощность множества. Счётные и континуальные множества. Определение и свойства натуральных чисел. Теорема о делении с остатком. Десятичная запись натуральных чисел. Свойства делимости натуральных чисел.

9. Метод математической индукции.

10. Простые и составные числа.

Простые числа, бесконечность множества простых чисел. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Взаимно простые числа. Основная теорема арифметики, каноническое разложение натурального числа в произведение степеней простых чисел.

11. Целые числа.

Определение и свойства. Сравнение по модулю. Операции над сравнениями. Кольцо вычетов по модулю m.

12. Рациональные числа.

Определение и свойства рациональных чисел. Поле рациональных чисел. Представление рациональных чисел в виде конечных и бесконечных периодических десятичных дробей, представление бесконечной периодической дроби в виде рационального числа.

 

II СЕМЕСТР

 

13. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.

14. Действительные числа.

Определение действительных чисел. Операции над действительными числами. Поле действительных чисел. Аксиома Архимеда и аксиома Дедекинда. Иррациональные числа, примеры. Взаимная плотность рациональных и иррациональных чисел. Точные верхние и нижние грани.

15. Элементы логики предикатов.

Понятие алгебраической системы. Примеры – числовые системы. Определение терма, формулы логики предикатов. Примеры. Определение значения терма и истинности формулы на алгебраической системе. Тождественно истинные формулы, эквивалентность формул. Основные тождества. Приведение формулы к предварённой нормальной форме. Обобщённые кванторы (∀x>0, ∃x≤3), операции над ними.

16. Теория последовательностей.

Определение последовательности. Предел последовательности. Предельный переход в неравенствах. Единственность предела. Ограниченные последовательности, монотонные последовательности. Предел подпоследовательности. Лемма о двух милиционерах. Бесконечно малые последовательности. Арифметические операции над пределами. Расширенная числовая прямая, бесконечные пределы. Существование предела монотонной последовательности. Теорема о вложенных промежутках. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши.

17. Эквивалентные определения вещественного числа.

Определение действительных чисел как множества дедекиндовых сечений, бесконечных десятичных дробей, пределов фундаментальных последовательностей.

18. Предел функции.

Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне, их эквивалентность. Единственность предела функции. Односторонние пределы, бесконечные пределы. Ограниченность функции, имеющей предел. Арифметические операции над пределами. Предел монотонной функции.

19. Непрерывные функции.

Определение непрерывной функции. Непрерывность монотонной функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Непрерывность обратной функции. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.

20. Производная.

Определение производной, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной. Производная обратной функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная композиции.

21. Замечательные пределы и табличные производные.

Замечательные пределы. Определение числа e. Производные элементарных функций. Табличные производные.

22. Теоремы дифференциального исчисления.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функций. Локальные экстремумы, необходимые и достаточные условия. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба, достаточные условия. Классификация точек разрыва, вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты. Исследование функции и построение её графика.

23. Неопределённый интеграл.

Первообразная функции, её свойства. Неопределённый интеграл, таблица простейших интегралов. Свойства неопределённого интеграла. Приёмы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям.

24. Определённый интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Интегрирование по частям, замена переменной в определённом интеграле. Площадь криволинейной трапеции.

25. Понятие площади и объёма.

Понятие площади. Площадь многоугольника. Квадрируемые фигуры. Понятие объёма. Кубируемые тела. Площадь подграфика – первообразная функции. Вычисление площадей и объёмов с помощью определённого интеграла. Объём цилиндроида, конусоида. Объём тел вращения. Объём конуса, шара. Длина кривой. Площадь поверхности. Вычисление площадей поверхностей вращения с помощью определённого интеграла.

26. Векторы и декартова система координат.

Понятие вектора на плоскости и в пространстве. Коллинеарные, компланарные вектора, критерии коллинеарности и компланарности. Разложение вектора по базису, существование и единственность разложения. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов. Совпадение скалярного и покоординатного произведения в ортонормированном базисе.

27. Аналитическая геометрия.

Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости, угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве. Угол между скрещивающимися прямыми, расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение стереометрических задач методом координат.

 

Практические занятия

I СЕМЕСТР

 

1. Множества и операции над ними.

2. Логика высказываний.

3. Свойства функций на вещественной прямой.

4. Понятие соответствия и функции. Обратные функции.

5. Показательная и логарифмическая функции.

6. Тригонометрические функции.

7. Натуральные числа.

8. Метод математической индукции.

9. Простые и составные числа.

10. Целые числа.

11. Рациональные числа.

12. Планиметрия

 

II СЕМЕСТР

 

13. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.

14. Действительные числа.

15. Элементы логики предикатов.

16. Теория последовательностей.

17. Эквивалентные определения вещественного числа.

18. Предел функции.

19. Непрерывные функции.

20. Производная.

21. Замечательные пределы и табличные производные.

22. Теоремы дифференциального исчисления.

23. Техника дифференциального и интегрального исчисления.

24. Неопределённый интеграл.

25. Определённый интеграл.

26. Понятие площади и объёма.

27. Стереометрия

28. Векторы и декартова система координат.

29. Аналитическая геометрия.

 

 

Тематический план курса

 

 

Наименование тем   Лекции   Семинары Самостоятельная работа Всего часов
1. Множества и операции над ними.        
2. Логика высказываний.        
3. Техника дифференциального и интегрального исчисления.                
4. Свойства функций на вещественной прямой.          
5. Понятие соответствия и функции. Обратные функции.                
6. Показательная и логарифмическая функции.                
7. Тригонометрические функции.        
8. Натуральные числа.        
9. Метод математической индукции.        
10. Простые и составные числа.        
11. Целые числа.        
12. Рациональные числа.        
13. Планиметрия        
14. Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.                
15. Действительные числа.        
16. Элементы логики предикатов.        
17. Теория последовательностей.        
18. Эквивалентные определения вещественного числа.                
19. Предел функции.        
20. Непрерывные функции.        
21. Производная.        
22. Замечательные пределы и табличные производные.                
23. Теоремы дифференциального исчисления.                
24. Неопределённый интеграл.        
25. Определённый интеграл.        
26. Понятие площади и объёма.        
27. Стереометрия        
28. Векторы и декартова система координат.        
29. Аналитическая геометрия.        

 


 

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

 

а) основная литература:

 

1. Яковлев Г.Н., ред. Пособие по математике для поступающих в вузы. М., Наука, 1988.

2. А.Т.Гайнов. Математика. Курс лекций для одногодичного потока. Ч. 1-3. НГУ, Новосибирск, 1992.

3. Школьные учебники.

4. Математика: Учебник для десятых классов специализированных учебно-научных центров. Под редакцией А.А. Никитина.

5. Математика: Учебник для одиннадцатых классов специализированных учебно-научных центров. Часть 1. Под редакцией А.А. Никитина.

6. Математика: Учебник для одиннадцатых классов специализированных учебно-научных центров. Часть 1. Под редакцией А.А. Никитина.

 

б) дополнительная литература:

 

1. С.Банах. Дифференциальное и интегральное исчисление, гл. I-VII. М., Наука, 1966.

2. В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк. Основы математического анализа, ч. 1. М., Наука, 1982.

3. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры, гл. IV, V, X. М., Физматгиз, 1963.

 

 

Согласовано:

Заведующий кафедрой математических наук ММФ и СУНЦ НГУ,

академик РАО,

д.ф.-м.н., профессор А.А. Никитин

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: