Для построения теории сопротивления материалов принимают некоторые допущения (гипотезы) относительно структуры и свойств материалов, а также о характере деформации[[3]].
1. Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что материал сплошь заполняет форму тела. Атомическая теория дискретного состояния вещества во внимание не принимается.
2. Гипотеза об однородности и изотропности. В любом объеме и в любом направлении свойства материала считаются одинаковыми. В некоторых случаях предположение об изотропии неприемлемо. Например, свойства древесины вдоль и поперек волокон существенно различны.
3. Гипотеза о малости деформации. Предполагается, что деформации малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет составлять уравнения статики для недеформированного тела.
4. Гипотеза об идеальной упругости материала. Все тела предполагаются абсолютно упругими.
Перечисленные выше гипотезы намного упрощают решение задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость. Результаты расчетов хорошо сходятся с данными практики.
Внутренние силы. Метод сечений.
Внутри любого материала имеются внутренние междуатомные силы, наличие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него внешние силы, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Приложение к телу внешней нагрузки вызывает изменение внутренних сил. В сопротивлении материалов изучаются дополнительные внутренние силы. В сопротивлении материалов они называются просто внутренними силами.
Внутренние силы – силы взаимодействия между отдельными элементами конструкций или между отдельными частями элемента, возникающие под действием внешних сил.
Чтобы численно установить величину внутренних сил пользуются методом сечений.
Метод сечений сводится к четырем действиям:
1. Разрезают (мысленно) тело плоскостью 
в том месте, где нужно определить внутренние силы (рис. 7);
Рис. 7
2. Отбрасывают любую отрезанную часть тела (желательно наиболее сложную), а ее действие на оставшуюся часть заменяют внутренними силами, чтобы оставшаяся исследуемая часть находилась в равновесии (рис.8);
Рис. 8
3. Приводят систему сил к одной точке (как правило, к центру тяжести сечения) и проецируют главный вектор и главный момент системы внутренних сил на нормаль к плоскости (ось 
) и главные центральные оси сечения (
и 
).
Полученные силы (N, Qy, Qz) (рис. 9) и моменты (Мк, Мy, Mz) называют внутренними силовыми факторами в сечении
Рис. 9
Для внутренних силовых факторов приняты следующие названия:
- продольная или осевая сила;
и 
- поперечные силы;
- крутящий момент;
и 
- изгибающие моменты.
4. Находят внутренние силовые факторы, составляя шесть уравнений равновесия статики для рассматриваемой части рассеченного тела.
Напряжение
Если в сечении выделить бесконечно малую площадку 
и предположить, что внутренние силы, приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и направлению, то равнодействующая их 
будет проходить через центр тяжести элемента (рис. 10).
Рис. 10
Проекциями на оси , и будут элементарная продольная сила 
, и элементарные поперечные силы 
и 
.
Разделим эти элементарные силы на площадь , получим величины, называемые напряжениями в точке проведенного сечения.
; 
; 
,
где 
- нормальное напряжение; 
- касательное напряжение.
Напряжение – внутренняя сила, отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.
Напряжение измеряется в единицах напряжения - паскалях (Па) и кратных ему – (кПа, МПа)
Иногда кроме нормальных и касательных напряжений рассматривают еще и полное напряжение
Понятие «напряжение » играет очень важную роль в расчетах на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления материалов отводится изучению способов вычисления напряжений и .
Растяжение и сжатие
Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая и сжимающая) а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.
Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.
Продольные силы определяются с помощью метода сечений.
Пример
Пусть имеется ступенчатый стержень, нагруженный силами 
, 
и 
вдоль оси стержня, показанного на рис. 11, а. Определить величину продольных сил.
Решение. Стержень может быть разделен на участки по местам приложения нагрузок и по местам изменения поперечного сечения.
Первый участок ограничен точками приложения сил 
и 
. Направим ось 
вдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы (начало первого участка). Мысленно рассечем первый участок поперечным сечением на расстоянии 
от начала первого участка. Причем координата может быть взята в интервале 
, где 
- длина первого участка.
Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой 
, предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.
Из условия равновесия статики:
; 
, кН
Положительный знак продольной силы говорит о том, что первый участок растянут.
Значение продольной силы не зависит от координаты , поэтому на всем участке значение продольной силы постоянно и равно 
.
Рис. 11
Второй участок ограничен точками приложения сил и 
. Направим ось вдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы (начало второго участка).
Мысленно рассечем второй участок поперечным сечением на расстоянии 
от начала второго участка. Причем координата может быть взята в интервале 
, где 
- длина второго участка.
Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой 
, предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.
Из условия равновесия статики:
;
, кН
Знак минус говорит о том, что второй участок сжат.
Аналогично для третьего участка:
;
, кН
Полученные результаты для большей наглядности удобней представить в виде графика (эпюры N), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня. Для этого проводим нулевую (базовую) линию параллельно оси стержня, перпендикулярно которой будем в масштабе откладывать значения осевых усилий (рис. 1.11, д). В одну сторону откладываем положительные значения, в другую - отрицательные. Эпюра заштриховывается перпендикулярно нулевой линии, а в нутрии эпюры ставится знак откладываемой величины. Рядом указываются значения откладываемых величин. Рядом с эпюрой в кавычках указывается название эпюры («N») и через запятую - единицы измерения (кН)
Нормальные напряжения
Отсутствие поперечных сил при растяжении (сжатии) дает основание предположить, что в каждой точке поперечного сечения касательные напряжения равны нулю.
Продольная сила в сечении бруса является равнодействующей нормальных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения.
Закон распределения напряжений может быть определен из эксперимента. Установлено, что если на стержень нанести прямоугольную сетку, то после приложения продольной нагрузки вид сетки не изменится, она по-прежнему останется прямоугольной, а все линии прямыми. Поэтому можно сделать вывод о равномерном по сечению распределении продольных деформаций и перейти к гипотезе плоских сечений.
Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.
Так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то напряжения 
всех волокон в поперечном сечении будут одинаковы. Тогда
,
откуда
Отметим, что полученное выражение справедливо для сечений достаточно удаленных от мест приложения сосредоточенных нагрузок. Вблизи приложения нагрузок распределение напряжений носит сложный характер.
Для обеспечения прочности стержня должно выполняться условие прочности - конструкция будет прочной, если максимальное напряжение 
ни в одной точке нагруженной конструкции не превышает допускаемой величины 
, определяемой свойствами данного материала и условиями работы конструкции, то есть
.
Допускаемое напряжение
,
где 
- опасное напряжение;
- коэффициент запаса прочности. Величина коэффициента запаса прочности назначается в пределах 
, а иногда и более, с учетом многих факторов, в частности, точности принятых расчетных соотношений, условий эксплуатации конструкции, особых требований по безопасности работы, норм, принятых в отрасли промышленности. В машинах и аппаратах химических производств 
.