Применение теоремы о кинетическом моменте для доказательства свойств гироскопа

 

Теорема о кинетическом моменте позволяет доказать основные свойства гироскопа.

Устойчивость главной оси свободного гироскопа. Для доказательства этого свойства необходимо в выражение (1.5) подставить значение , так как условие свободного гироскопа означает, что он свободен от действии каких-либо моментов внешних сил.

Следовательно, для свободного гироскопа , т. е. .

Иначе говоря, значение и направление кинетического момента гироскопа постоянны. Имея в виду, что (где осевой момент инерции гироскопа — величина постоянная), можно сделать вывод, что угловая скорость также постоянная.

Известно, что для быстровращающегося гироскопа направление кинетического момента совпадает с направлением оси X гироскопа, т. е. с направлением его главной оси. Следовательно, неизменность направления свидетельствует о неизменности направления в пространстве главной оси свободного гироскопа. Это подтверждает свойство устойчивости главной оси свободного гироскопа в пространстве.

Прецессия гироскопа. Рассмотрим гироскоп (рис. 1.6), на который действует сила , создающая момент вокруг какой-либо оси, не совпадающей с главной осью гироскопа (на рисунке вокруг оси Y). Как известно, кинетический момент быстровращающегося гироскопа следует считать направленным по главной оси. Конец вектора обозначим N.

Согласно теореме Резаля выражение означает, что конец вектора , т. е. точка N, приобретает линейную скорость, равную и параллельную вектору момента .

Рис. 1.5. К объяснению второго свойства гироскопа - прецессии

На рис. 1.5 видно, что движение главной оси гироскопа происходит не в направлении действии приложенной силы , а в плоскости ХОУ перпендикулярно силе в направлении момента этой силы, т. е. мы наблюдаем случай прецессионного движения гироскопа. Оно возникает тогда, когда момент приложенных сил не совпадает по направлению с моментом .

Рассматривая рис. 1.5. сформулируем правило, пользуясь которым, можно на практике определять направление прецессии: прецессионное движение всегда совершается в том направлении, в котором вектор кинетического момента кратчайшим путем поворачивается к вектору момента приложенной силы. Угловая скорость прецессионного движения гироскопа численно равна линейной скорости , деленной на радиус вращении , т. е. на H: . Но по теореме Резаля , поэтому

 

(1.9)

 

Формула (1.9) выражает очень важный в прикладной теории гироскопов закон прецессии. Таким образом, угловая скорость прецессии прямо пропорциональна приложенному моменту внешних сил и обратно пропорциональна кинетическому моменту гироскопа.

Устойчивость к удару. Математическое выражение (1.5) теоремы о кинетическом моменте можно представить в конечных приращениях

 

или

Рис. 1.5. К объяснению второго свойства гироскопа - удароустойчивости

(1.10)

 

Полученное выражение можно трактовать следующим образом: момент внешней силы , действующий на гироскоп в течение малого (в пределе бесконечно малого) времени , вызывает малое (в пределе бесконечно малое) изменение кинетического момента по направлению (рис. 1.6).

Угловое изменение . Если момент внешней силы действовал очень короткий интервал времени , то даже при большом значении момента величина , следовательно, мал угол . Отсюда вытекает важный практический вывод о том, чту импульс силы (удар) способен лишь незначительно изменить положение главной оси быстровращающегося гироскопа.

 

 

Гироскопический момент

 

При изучении свойств прецессии было установлено, что главная ось гироскопа движется не в направлении приложенной силы, а перпендикулярно направлению действующей силы. Такое явление может произойти только в том случае, если со стороны гироскопа возникает сила реакции, уравновешивающая приложенную к гироскопу внешнюю силу, Эта сила противодействия, препятствующая движению гироскопа по направле­нию действия силы, называется гироскопической реакцией, а ее мо­мент, уравновешивающий момент внешних сил , — моментом гиро­скопической реакции, или гироскопическим моментом.

Из формулы (1.9), выражающей закон прецессии, можно пол­учить формулу момента внешней силы, вызывающего прецессионное движение:

 

 

Этот момент внешней силы уравновешивается гироскопическим моментом , равным по значению и противоположным по направле­нию моменту , т. е. , поэтому

 

(1.11)

 

Для определения направления вектора гироскопического мо­мента можно пользоваться правилом JI. Фуко (правилом одноименного параллелизма осей вращения). Это правило для быстровращающегося гироскопа состоит в следующем (см. рис.): вектор гироскопического момента направлен таким образом, что он стремится повернуть вектор кинетического момента к вектору угловой скорости прецессии или, что то же самое, вектор угловой скорости собственного вращения гироскопа к вектору . Это означает, что в правой системе координат вектор направлен в ту сторону, откуда вращение от вектора к вектору , совершается по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки.

Возникновением гироскопического момента, уравновешивающего момент внешней силы, и объясняется тот факт, что прецессионное движение гироскопа происходит с постоянной угловой скоростью.

Значение этого уникального свойства гироскопа трудно переоце­нить, имея в виду, что одна из важнейших задач, связанных с управле­нием движением различными объектами, требует для своего решения существования некоторой отсчетной (опорной) системы координат, получаемой автономным путем. Указанная система может быть созда­на и создается на базе гироскопа, так как даже при наличии некоторых остаточных вредных моментов (определяемых современным уровнем развития науки и техники) гироскоп несравненно медленнее меняет первоначальную ориентацию по сравнению с любым другим телом, не имеющим собственного вращения. Как известно, при действии момен­та внешних сил на не гироскопическое тело последнее совершает вра­щение с угловым ускорением.

Теперь, когда известна сущность гироскопического момента, не­трудно объяснить свойство двухстепенного гироскопа, внешнее прояв­ление которого было охарактеризовано в параграфе 1.1.3. Действи­тельно, обращаясь вновь к рис.1.1. б, нетрудно установить, что взаимо­действие кинетического момента направленного вдоль оси X — X гироскопа с угловой скоростью вынужденного вращения вокруг вер­тикальной оси, приводит к появлению гироскопического момента , направленного по оси Y — Y. В общем случае гироскопический момент определяется формулой

 

(1.12)

 

Значение гироскопического момента характеризуется выражением

 

 

Гироскопический момент поворачивает кольцо вместе с ротором до тех пор, пока угол между векторами и не станет равным нулю.

Аналогично возникновением гироскопического момента объясня­ется давление, оказываемое вращающимся телом на опоры при пово­роте основания, в котором они закреплены. Зная гироскопический момент и расстояние между опорами, нетрудно рассчитать нагрузку на опоры, т. е. силу F₁ или F₂ (рис. 1.2).

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Дайте определение понятию «гироскоп».

2. Перечислите составные части гироскопа.

3. Какие типы подвесов применяются в гироскопах?

4. Раскройте суть трех основных свойств гироскопа.

5. Сформулируйте теорему о кинетическом моменте и теорему Резаля.

6. С помощью теоремы «о кинетическом моменте» докажите основные свойства гироскопа.

7. Объясните суть понятия «гироскопический момент»