Задачи для подготовки к экзамену по математике (1-ый семестр, ФЭУ, группы 42-81, 42-82)
Уч.г.
I. Линейная алгебра.
1. Вычислить определитель разложением по элементам 1-го столбца: 
.
2. Найти А 
,если А = 
3. Вычислить определитель: 
4. Найти произведение А·В, если 
5. Решить неравенство: 
.
6. Вычислить ранг матрицы:
А = 
В= 
7. Дана матрица А = 
. Найти определитель матрицы АТ
8. Решите систему 
(тремя способами).
9.1 Исследовать систему линейных уравнений. Если она совместна, найти ее общее и одно частное решение: 
9.2 Решить систему методом Гаусса, найти фундаментальную систему решений: 
II. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
10.1. Найти разложение вектора 
по базису 
.
10.2. Найти разложение вектора 
если
11. Вычислить проекции (алгебраическую и геометрическую) вектора 
на направление вектора 
если 
12. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если 
13. Вычислить алгебраическую и геометрическую проекции вектора 
. Найти вектор, перпендикулярный этим векторам.
14. Найти скалярное и векторное произведения векторов 
и 
,где 
и 
- орты, образующие угол 120 
.
15. Дан вектор 
.
Найти 
и записать любой вектор, коллинеарный вектору 
Вычислить объем тетраэдра ABCD, если A(1;-1;0), B(-2;3;1), C(3;-3;1),
D(0;3;-2).
17. Даны векторы 
18. Даны векторы 
Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам 
.
19. Даны два вектора 
20. Даны точки A(1;-1;0), B(-2;3;1), C(3;-3;1), D(0;3;-2). Найти расстояние от точки D до плоскости АВС.
21. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки Р (4;-2; 1) и Q (2; 4;-3)
22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскостям 3х-2у+2z+7=0 и
5x-4y+3z+1=0
23. Найти расстояние от точки 
до плоскости 
. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0 перпендикулярно данной плоскости.
24. Найти угол, образованный пересечением плоскостей 
,если
, 
. Привести уравнение одной из плоскостей к нормальному виду.
25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
26. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой
27. Найти точку пересечения прямой 
и плоскости x+у+2z-9=0.
28. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения плоскостей: 2x-3у+2z+2=0 и 2x+3y+z+14=0.
29. Определить острый угол между прямыми 
и 
. Привести уравнение одной из прямых к нормальному виду, другой - к параметрическому виду.
30.Найти значение «а», при котором прямые 2х-3у+5=0 и 4х+ау+1=0:
а) параллельны; б) перпендикулярны. Найти угол между ними при а=3.
31. Привести уравнение кривой к каноническому виду и указать ее характеристики: 
.
32. Дано уравнение кривой: 
. Привести его к каноническому виду, определить вид и указать характеристики кривой. Сделать чертеж.
33. Гипербола проходит через точку М (6;- 
и имеет мнимую полуось
в = 2. Составить её уравнение. Найти характеристики. Сделать чертеж.
34. Найти расстояние от точки D(3;-2) до центра С (а, в) окружности 
. Составить уравнение прямой СD.
35. Найти линию центров окружностей: 
и 
.
36. Определить характеристики (полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис) эллипса 
37. Привести уравнение кривой 
к каноническому виду и указать ее характеристики. Какую поверхность определяет это уравнение в пространстве?
38. Найти расстояние от правого фокуса гиперболы 
до центра окружности 
.
III. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.
39.1.Вычислить пределы:
39.1.1) 
39.1.2) 
39.1.3) 
39.1.4) 
39.1.5) 
39.1. 6) 
39.1.7) 
39.1. 8) 
39.1.9) 
39.1.10) Вычислить предел последовательности при к=3 и при к=5: 
39.2. Вычислить,используя правило Лопиталя:
39.2.1) 
39.2. 2) 
39.2.3) 
39.3. Задачи на непрерывность функции:
39.3.1) Исследовать на непрерывность, указать точки разрыва и их тип:
39.3.2) Исследовать на непрерывность, указать точки разрыва и их тип:
39.4. Задачи на исследование функции:
39.4.1) Найти асимптоты графика функции f(x)= 
39.4.2) Найти асимптоты кривой 
39.4.3) Найти асимптоты кривой 
40.1. Задачи на производную и дифференциал функции:
40.1.1) 
40.1. 2) 
40.1.3) cos(x+y)-x+y=0, 
40.1.4) 
40.1.5) 
40.1. 6) 
40.1.7) 
40.1. 8) Вычислить 
40.1.9) Вычислить 
40.1.10) Найти 
40.1.11) Найти 
40.1.12) Найти производную неявной функции 
40.1.13) Найти дифференциал функции 
;
40.1.14)Вычислить приближенно с помощью дифференциала функции: 
40.1.15) Вычислить приближенно с помощью дифференциала функции: 
;
40.2. Задачи на исследование функции:
40.2.1) Найти интервалы монотонности функции f(x)=2x2+1/x;
40.2.2) Найти экстремумы функции 
40.2.3) Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=x3-3x2-9x+35 на отрезке [-4; 4];
40.2.4) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции f(x)=x arctgx