Точки перегиба. Асимптоты




 

Кривая называется выпуклой в точке х=х0, если в некоторой окрестности этой точки кивая расположена под касательной, проведенной в этой точке (рис.6а), если же кривая лежит над касательной, то функция называется вогнутой (рис.6б).

В качестве достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функций можно принять следующие: если y">0, то кривая вогнутая, если y"<0, то кривая выпуклая.

Точкой перегиба называется точка, разделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости. Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной от функции, достаточным – изменение знака второй производной при переходе через точку, подозрительную на точку перегиба.

Пусть имеется кривая, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой прямой по мере удаления точки кривой в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой графика кривой.

Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная.

Пусть y=f(x), а – точка разрыва функции или граничная точка области определения.

Если , то прямая х=а есть вертикальная асимптота.

Если , то прямая х=b – горизонтальная асимптота.

Наклонная асимптота имеет вид у=kx+b, где ; .

Замечание. Пределы при х®∞, х®-∞ находятся отдельно.

 

Алгоритм полного исследования функции y=f(x)

 

1. Найти область определения функции; точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________

 

1.5.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х5-5х-6; б) у=(х-5)5/3+2;

в) у=хех; г) у=х4-8х3+24х2.

Ответ: а) (-∞;0) – выпуклая; (0;∞) – вогнутая;

б) р(5;2) – точка перегиба;

в) (-∞;-2) – выпуклая; (-2;∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

1.5.2. Найти асимптоты графика функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=-xarctgx.

Ответ: а) х=-2, у=3; б) х=1, х= -6, у=0; в) у=х-6;

г)

1.5.3. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) уmin(2)=3; асимптоты у=х, х=0;

б)уmin(2Ö3)=3Ö3, уmax(-2Ö3)= -3Ö3; (0;0) – точка перегиба; х=±2, у=х – асимптоты;

в) уmax(е2)=2/е, у=0 – асимптоты;

г) уmax(1)=е.

1.5.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б) ;

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2;-8/3); б) ; в) точек перегиба нет;

г) .

1.5.5. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б) y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х=0; у=1; б) ; в) у=2х; х=0.

1.5.6. Исследовать функции и построить графики:

а) ; б) .

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) уmin(6)=13,5; (0;0) – точка перегиба; х=2; у=х+4 – асимптоты.

 

Параметрически заданные функции.

Векторная функция скалярного аргумента.

Кривизна плоской кривой

 

Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическимуравнениемкривой.

Если , то , а .

Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R3своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , называется годографом.

Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:

Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.

Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой .

________________

 

1.6.1. Найти , еслиx=arccost, y=arcsint.

Ответ: .

1.6.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.

Ответ: .

1.6.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t=0; t=1.

Ответ: .

1.6.4. Определить кривизну кривой при t=1.

Ответ: .

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!