Ответы к экзамену по курсу «Теория случайных процессов»
1. Измеримое пространство. Примеры измеримых пространств.
Определение. 
с 
алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (
, F).
Определение. Система F - подмножеств множества называется алгеброй, если:
1) она является алгеброй,
2) 
, для 
то 
и 
.
Определение. Пусть 
. 
- система подмножеств множества называется алгеброй если:
а) , 
;
б) 
А 
А 
А 
;
в) 
А 
А
Примеры измеримых пространств
Измеримое пространство (R1, B (R1))
Пусть R1 =(- 
, ] – действительная прямая и (a,b ] = { 
R1: 
} для всех 
. Обозначим через А (R1) систему множеств в R1, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b ]: А (R1), где 
. Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А (R1), которая не является 
алгеброй, так как 
А (R1), но 
А (R1).
Из предыдущих построений следует, что B (R1) состоит из интервалов вида 
, где 
, и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:
i) 
ii) 
iii) 
Измеримое пространство (Rn, B (Rn))
Пусть Rn = R 
R … R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов 
, где 
, 
.
Множество 
где 
, называется прямоугольником, то есть, 
Rn: 
, а 
- его сторонами.
Через 
(Rn) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rn. (Rn) - наименьшая алгебра порожденная 
- называется борелевской алгеброй множеств Rn, которую и обозначим через B (Rn).
Измеримое пространство (R 
, B (R 
))
R - пространство числовых последовательностей 
где - 
, 
Пусть 
- борелевское множество к -ой числовой прямой (то есть, множество 
B (R1)). Рассмотрим множества:
i) 
R 
: 
};
ii) 
R : 
};
iii) 
B (R 
) 
R : 
.
Такие множества называются цилиндрическими, причем 
называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества 
, 
, 
образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R ), B 1(R ), B 2(R ), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.
Измеримое пространство (RТ , B (RТ))
Пусть Т 
– произвольное пространство, множество. Пространство RТ – совокупность действительных функций на T со значениями в R1, обозначенные 
. Для простоты будем считать, что 
. Обозначим: 
, где 
. Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на RТ, порожденную цилиндрическими множествами 
и обозначаемую через B (RТ).
Возникает вопрос: какова структура множества B (RТ)? Оказывается, что любое множество B (RТ) допускает представление 
, где 
B (R 
). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t 
Т необязаны быть измеримыми относительно B (RТ). Например: i) 
}, 
,
ii) 
- непрерывные в точке 
.
В связи с неизмеримостью некоторых множеств из RТ по отношению к B (RТ) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.
Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).
Пусть Т =[0,1], С [0,1] - пространство непрерывных функций xt, t [0,1], со значениями в R1. Очевидно, С [0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= 
, то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:
1) ρ (х,у)= 0 
x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) 
ρ (x,z)+ ρ(z,y).
Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту (RТ , B (RТ)).
Измеримое пространство (D,B(D)).
D – пространство функций xt, t [0,1], со значениями в R1, непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t [ 0,1 ]. В нем также можно ввести метрику:
ρs(x,y) 
inf { 
,
где 
- множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций 
, причем 
и 
}. 
-алгебра B(D) строится аналогично пункту (RТ , B (RТ)).
2. Задание вероятностной меры на (R1,B(R1)). (теорема 4) Классификация мер на (R1,B(R1)).
Измеримое пространство (R1, B (R1)).
Пусть F: R1 
[0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:
1) неубывающая;
2) F(- )= 0 F()= 1, где F(- )= 
и F() = 
;
3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R1.
Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R1.
Теорема 4. Пусть 
- функция распределения на R1, тогда на (R1, B (R1)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых 
, причем 
, Р 
Пример: пусть функция распределения имеет вид:
= 
Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка 
и обозначают Λ, причем Λ 
Приведем классификацию мер на (R1, B (R1)).
Дискретные меры.
Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках 
х1,х2, …, причем 
где 
Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х1,х2, …, причем Р 
.
Набор чисел 
где 
- называется дискретным распределением.
Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.
| Распределение | 
| Параметры |
| 1. Дискретное равномерное | 
| 
|
| 2. Бернулли | 
|   - вероятность успеха, 
|
3. Биноминальное 
| 
|   ,
|
4. Пуассоновское Пк 
| Пk  
| 
|
5. Геометрическое = 
| 
|  
|
6. Отрицательное биноминальное 
| 
|  
|
Абсолютно непрерывные меры.
Пусть существует неотрицательная функция 
такая, что функция распределения допускает представление: 
Функцию 
() называют плотностью функции распределения .
Пример: Функцию 
, называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что 
Сингулярные распределения.
Определение. Точка 
называется точкой роста функции распределения , если 
для любого 
.
Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.
Пример. Возьмем отрезок 
и построим на нем сингулярную функцию распределения с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим на 3 равные части и определим - функцию распределения 
следующим образом:
= 0, при x < 0; = 
x, при x [0, 
); = 
, при x [ 
, 
); = x – , при x [ 
,1); = 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов 
и 
опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения 
следующим образом:
= 0, при x < 0; = 
x, при x [0, 
); = 
при x [ , 
]; = 
x - , при x [ , 
]; = 
при x [ , ); = x – 1, при x [ 
, 
); = 
при x [ , 
); = x - 
, при x [ ,1].
Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения 
, которая, очевидно, сходится при 
к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения . Очевидно, что точки роста функции распределения имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции равна 
Пусть 
- множество точек роста функции распределения , тогда из последнего рассуждения следует, что 
(в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).
3. Теорема Лебега (теорема 5). Функция распределения.
Теорема 4. (Лебега) Любая функции распределения на прямой R1 представима в виде:
,
где 
и 
, а - дискретная, - абсолютно непрерывная, 
- сингулярная функции распределения.
Пусть F: R1 [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:
1) неубывающая;
2) F(- )= 0 F()= 1, где F(- )= и F() = ;
3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R1.
Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R1.
4. Задание вероятностной меры на (Rn,B(Rn))(теорема 6). Примеры.
Измеримое пространство (Rn,B(Rn)).
Пусть 
- измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор 
, действующей по правилу
.
Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:
1) 
для любых 
, i = 
;
2) 
;
3) 
, если хотя бы одна из координат n-мерного вектора 
принимает значение 
,
называется 
-мерной функцией распределения.
Очевидно следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть 
- -мерная функция распределения. Тогда на (Rn,B(Rn)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что 
, где 
, 
.
Примеры. 1) Пусть
= 
мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на 
.
2) 
,где
.
5. Задание вероятностной меры на (R∞,B(R∞))(теорема 7)
Измеримое пространство (R 
,B(R ))
Обозначим через 
R :(
) 
, где Rn – цилиндрическое множество в 
с основанием 
B(Rn). Пусть последовательность вероятностных мер 
определенных, соответственно, на (R1, B(R1)), (R2, B(R2)), обладает следующим свойством:
(1)
где 
, 
.
Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.
Теорема 7. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R , B(R )). Пусть 
- последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R1, B(R1)), (R2, B(R2)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R 
, B(R 
)) такая, что для каждого 
P 
P 
для .
6. Задание вероятностной меры на (RТ,B(RТ)). Теорема Колмогорова (теорема 8 – без доказательства)
Измеримое пространство (RТ , B(RТ))
Пусть Т=[0,T] 
– произвольное множество индексов 
R t - числовая прямая, соответствующая индексу 
. Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор 
различных индексов 
, и пусть P t - вероятностная мера на (R 
,B(R )), где R = R 
R 
.
Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер 
(
- пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов и 
причем 
, выполняется равенство
,
где 
, б) выполнено (1).
Теорема 8. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на
(RТ ,B(RТ))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R ,B(R 
)). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (RТ ,B(RТ)) такая, что 
для всех неупорядоченных наборов 
различных индексов 
и B(R 
).
7. Определение случайной величины. Примеры. Разбиение. Дискретная(простая) случайная величина. Распределение вероятностей случайной величины.
Пусть (, F) и (R1,B(R1)) - измеримые пространства.
Определение. Действительная функция 
определенная (, F), принимающая значения в R1 называется F – измеримой или случайной величиной, если: B(R1) 
F (то есть, прообраз 
является измеримым множеством в 
).
Если 
=(Rn,B(Rn)), то B(Rn) – измеримые функции называются борелевскими.
Простейшим примером случайной величины является
Определение. Случайная величина 
представимая в виде
(2)
где 
F называется дискретной. Если число слагаемых в сумме в (2) конечно, то случайная величина называется простой.
Замечание. Случайная величина это некоторая характеристика эксперимента, результаты которого зависят от случая 
. Требование измеримости важно. Действительно, если на (, F) задана вероятностная мера Р и 
, то в этом случае можно говорить о вероятности события, состоящего в том, что значение случайной величины принадлежит борелевскому множеству В.
Определение. Вероятностная мера 
на (R,B(R)) с 
, B(R1), называется распределением вероятностей случайной величины 
на (R, B(R)).
Определение. Функция 
Р 
, где 
R1, называется функцией распределения случайной величины 
.
8. Классификация случайных величин. Свойства случайных величин (лемма 9, 10, теорема 11). Расширенная случайная величина. Теорема Бореля (теорема 12)
Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения 
непрерывна. Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если 
, R1.
Вопрос: Когда функция 
обозначаемая является случайной величиной? Для этого надо проверить условие F для любого B(R1).
Лемма 9. Пусть – некоторая система множеств такая, что (e)=B(R1). Для того, чтобы была F - измеримой необходимо и достаточно, чтобы F для всех e.
Доказательство. Необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть D – система борелевских множеств 
, для которых 
F. Известно, что:
i) 
, ii) 
, iii) 
= 
.
Отсюда следует, что система – является -алгеброй, значит
D B(R1) и (e) 
, следовательно D=B(R1).
Лемма 10. Пусть 
: R1 R1 - борелевская функция, а 
- случайная величина. Тогда сложная функция 
(то есть 
) - случайная величина.
Доказательство. Действительно
,
так как 
B(R1), B(R1).
Доказательство закончено.
Определение. Функция на (, F) со значениями в 
= 
называется расширенной случайной величиной, если: для B(R1) F.
Теорема 11. 1) Для любой случайной величины найдется последовательность простых случайных величин 
таких, что 
и 
при 
для всех .
2) Если случайная величина 
, то найдется последовательность простых случайных величин таких, что 
для всех .
Доказательство. Начнем с пункта 2). Положим 
, и 
непосредственной проверкой, устанавливается, что 
для всех . Отсюда следует и доказатель