СОЕДИНЕНИЕМ R, L И C ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим общий случай последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора (Рис.1).
На основании 2-го закона Кирхгофа
(1)
Учитывая закон Ома, имеем
Теперь уравнение (1) можно записать в виде
или
,
где - напряжение между выводами неразветвленной цепи.
Величина называется комплексным сопротивлением неразветвленной цепи.
или ,
где модуль комплексного сопротивления, или полное сопротивление цепи;
- аргумент комплексного числа.
В зависимости от знака величины аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (индуктивный характер), либо отрицательным (емкостной характер).
РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и емкостью, характеризующийся равенством индуктивного и емкостного сопротивлений, называется резонансом напряжений.
Реактивные сопротивления и (Рис. 3) зависят от частоты вынужденных колебаний ω:
.
При резонансе напряжений
Отсюда определяется резонансная частота
Резонанс в цепи можно установить двумя путями: изменением параметров L и С (одного из них или обоих вместе) при постоянной частоте источника или изменением частоты источника энергии при постоянных L и С.
При увеличении частоты увеличивается пропорционально частоте, а уменьшается по закону обратной пропорциональности.
Соответственно полное сопротивление Z цепи при резонансной частоте ωР оказывается наименьшим, равным активному сопротивлению r; при частотах ω < ωР полное сопротивление увеличивается с уменьшением частоты за счет роста ; при частотах ω > ωР полное сопротивление увеличивается с уменьшением частоты за счет роста .
Физическая причина возникновения повышенных напряжений – колебания значительной энергии, запасаемой попеременно в электрическом поле конденсатора и в магнитном поле индуктивного элементов.
Резонанс напряжений может быть опасен в установках сильного тока, где его возникновение специально не предусматривается.
При резонансе напряжений отношение напряжения на катушке индуктивности или конденсатора к напряжению источника равно отношению волнового сопротивления ZВ (характеристическое сопротивление колебательного контура) к активному. Действительно, при резонансе сопротивления реактивных элементов
.
Поэтому
.
Из этого выражения следует, что при ZВ > r напряжение на реактивных элементах больше напряжения питания. Такое превышение может оказаться значительным, если реактивные сопротивления много больше активного, и изоляция катушки или конденсатора может быть пробита.
Резонансные явления широко применяются в радиотехнике. Качество резонансного контура считается тем выше, чем больше отношение , которое получило название добротности контура Q;
.
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ
СОЕДИНЕНИЕМ ВЕТВЕЙ
(Лаб. раб.№3, стр. 3-6)
На рис. 1 представлена электрическая цепь с параллельным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Будем считать заданными проводимость резистивного элемента и комплексные проводимости индуктивного - и емкостного элементов. Принципиальной особенностью электрических цепей с параллельным соединением элементов является то, что напряжение на каждом из них одинаковое, т.е. у параллельных ветвей общее напряжение.
(1)
По первому закону Кирхгофа
. (2)
В соответствии с законом Ома комплексные значения токов в ветвях, согласно рис. 2, будут определяться следующим выражением
. (3)
Сумма комплексных проводимостей всех параллельных ветвей в выражении (2) равна комплексной проводимости данной цепи
. (4)
В показательной форме комплексная проводимость равна
, (5)
где - модуль, а - аргумент комплексной проводимости цепи.
В тригонометрической форме
. (6)
На комплексной плоскости слагаемые комплексной проводимости цепи изображены в виде векторов для двух случаев и (Рис. 3).
В первом случае комплексная проводимость цепи имеет индуктивный характер, во втором - емкостной.
Подставив значение комплексной проводимости в показательной форме (5) во (2), получим комплексное значение тока в виде
(7)
Из (7) следует, что действующее значение тока в неразветвленной части цепи
.
На комплексной плоскости представлены векторные диаграммы напряжения и токов для двух случаев и (Рис. 4) при одинаковом напряжении .
Если комплексная проводимость цепи имеет индуктивный характер, то общий ток (в неразветвленной части цепи) отстает по фазе от напряжения.
Комплексная мощность анализируемой цепи
.
Если электрическая цепь содержит несколько резистивных, индуктивных и емкостных элементов, включенных параллельно, то комплексная проводимость
(8)
где g - активная проводимость цепи; b - реактивная проводимость цепи.
Выражению (8) соответствуют треугольники проводимостей на комплексной плоскости (Рис. 5).
Резонанс токов
В цепи, схема которой содержит параллельно соединенные индуктивный, емкостной и резистивный элементы, т.е. параллельный контур, может возникнуть резонанс токов.
Угловая частота, при которой наблюдается резонанс токов, называется резонансной и вытекает из условия резонанса т.е.
откуда
Из условия резонанса следует, что откуда, т.е. jI = jU, полная проводимость контура минимальна: и общий ток минимальный
Режим параллельного контура, при котором сдвиг фаз между напряжением и общим током равен нулю, называется резонансом токов.
Если при резонансе токов в одинаковое число n разувеличить индуктивную и емкостную проводимости, то токи IL и IC увеличатся также в n раз, общий ток останется тем же . Таким образом, в принципе можно неограниченно увеличивать токи в индуктивном и емкостном элементах при неизменном токе источника.
Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений – явление безопасное для электроэнергетических установок. Большие токи в ветвях при резонансе токов возникают лишь в случае больших емкостей конденсаторов и малых индуктивностей катушек.