с постоянными коэффициентами

ПП 23. ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ дифференциальные уравнения (ОЛДУ и НЛДУ)

с постоянными коэффициентами

1. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
1. - действительные, разные.
2. - действительные, равные, кратность 2.
3. - комплексные.
4.

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 23 1. Решение ОЛДУ второго порядка	Ответ
ПП 23 № 1	Найдите решение ОЛДУ . Решение: .
ПП 23№ 2	Найдите решение ОЛДУ . Решение:
ПП 23 № 3	Найдите решение ОЛДУ . Решение: , .

2. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами , ,

Корни характеристического уравнения	Вклад указанных корней в общее решение ДУ
1. Действительные, разные
2. Действительные, кратности
3. Комплексные, разные
4. Комплексные, кратности

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 23 2. Решение ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами	Ответ
ПП 23 № 4	Решите уравнение . Решение: Характеристическое уравнение: , откуда , . Частные решения имеют вид: , . Общее решение имеет вид: .

3.Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов

	Корни характеристического уравнения	Вид
1.	а) 0 – не корень б) 0 – корень кратности r (r =1,2)
2.	а) – не корень б) – корень кратности r (r =1,2)
3.	а) – не корень б) – корень
4.	а) – не корень б) – корень	, , .
5.	а) – не корень б) – корень	,

Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами.

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 23 3. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов	Ответ
ПП 23 № 5	Найдите решение НЛДУ . Решение: 1) Находим общее решение соответствующее однородного уравнения. ОЛДУ . Ищем решение в виде . Подстановка в уравнение дает характеристическое уравнение для k: , корни характеристического уравнения , фундаментальная система решений однородного уравнения , ; общее решение однородного уравнения является их линейной комбинацией . 2) Находим частное решение исходного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. Правая часть уравнения имеет вид , характеристическое число для правой части и не совпадает с корнями характеристического уравнения и , частное решение ищем в виде , где А неизвестный коэффициент, . Подстановка и в уравнение дает: , откуда , частное решение НЛДУ: . 3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения: .
ПП 23 № 6	Решите ДУ , если . Решение: 1) ОЛДУ и . 2) , . . откуда и . 3) , . 4) При , . Частное решение НЛДУ имеет вид: .
ПП 23 № 76	Решите уравнение . Решение: 1) , , , . 2) : . ; ; ; ; 3) .
ПП 23 № 8	Найдите решение НЛДУ . Решение: 1) . . . 2) является корнем характеристического уравнения: , , . Подстановка в уравнение дает: откуда , . 3) .
ПП 23 № 9	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: НЛДУ - 3-го порядка с постоянными коэффициентами. 1) . . , , , ; . 2) Правая часть уравнения имеет вид , характеристическое число для правой части и совпадает с корнем характеристического уравнения кратности 1, частное решение ищем в виде . Для определения неизвестных коэффициентов А, В, С подставляем решение и , , в исходное уравнение: . Группируем члены в левой части по степеням х: . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: . Частное решение неоднородного уравнения имеет вид . 3) Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения = .
ПП 23 № 10	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. , , , . Общее решение однородного уравнения: . 2) Находим частное решение неоднородного уравнения. Поскольку характеристическое число для правой части совпадает с решением характеристического уравнения = 2 кратности 1, частное решение ищем в виде: . , , . Подставим эти выражения в исходное уравнение: . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, найдем систему линейных уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов: . Частное решение неоднородного уравнения имеет вид . 3) Общее решение исходного неоднородного уравнения: = .
ПП 23 № 11	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: 1) Находим общее решение неоднородного уравнения. , - действительный корень кратности 2. . 2) Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения: . Характеристическое число для правой части является комплексным, , оно не совпадает с корнями характеристического уравнения. Частное решение ищем в виде: . Подставим в уравнение функцию и , : . Приравняем коэффициенты при и : , . Частное решение: . 3) Общее решение неоднородного уравнения: = .

Принцип суперпозиции

Если , то .

4. Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ второго порядка

Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ второго

порядка применяется, если не совпадает с функциями, перечисленными в таблице решения НЛДУ методом неопределенных коэффициентов.

Пусть известно общее решение соответствующего

ОЛДУ .

Общее решение НЛДУ имеет вид , где находятся из системы:

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 23 4. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных	Ответ
ПП 23 № 12	Найдите решение НЛДУ: . Решение: Найдем решение ОЛДУ: , , , , . Частные решения ОЛДУ: . Найдем . Отсюда .
ПП 23 № 13	Найдите решение задачи Коши , , . Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение . , - пара комплексно сопряженных корней кратности 1. . 2) Общее решение неоднородного уравнения. , где и - неизвестные функции. Система дифференциальных уравнений для их определения имеет вид Решая систему, получаем , . Интегрируя эти уравнения с разделяющимися переменными, имеем , ; , . . 3) Из начальных условий находим неизвестные постоянные: , . Решение задачи Коши принимает вид: ..

5. Решение НЛДУ n -го порядка с постоянными
коэффициентами методом неопределенных коэффициентов ,

Вид правой части	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
1. - многочлен степени n	а) число 0 не является корнем б) число 0 является корнем кратности r
2.	а) число не является корнем б) число является корнем кратности r
3.	а) число не является корнем б) число является корнем кратности r
4.	а) число не является корнем б) число является корнем кратности r	+
5.	а) число не является корнем б) число является корнем кратности r

Здесь - многочлены с неопределенными коэффициентами.

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 23 5. Решение НЛДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов	Ответ
ПП 23 № 14	Найдите решение НЛДУ . Решение: Характеристическое уравнение , . Общее решение однородного уравнения: . Правая часть уравнения имеет вид: , где , корни характеристического уравнения не совпадают с . Частное решение ищем в виде: . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим: , . Общее решение: .
ПП 23 № 15	Найдите решение НЛДУ . Решение: 1) Характеристическое уравнение: , . Общее решение ОЛДУ: . 2) имеет вид: , . Частное решение НЛДУ ищем в виде: , , . Подстановка этих значений в исходное уравнение дает откуда . . 3) Общее решение НЛДУ:
ПП 23 № 16	Найдите общее решение дифференциального уравнения . Решение: 1) Находим общее решение однородного уравнения. , , , - три действительных корня кратности 1. Общее решение однородного уравнения вид . 2) Находим частное решение неоднородного уравнения. В правой части уравнения имеется сумма двух слагаемых , частное решение ищем в виде , где и - частные решения уравнений соответственно. 2.1) Находим частное решение первого уравнения. , . Подставляя это выражение в уравнение, находим , ; 2.2) Находим частное решение второго уравнения. , . Подставляя в уравнение, получаем . Приравнивая коэффициенты при и , получаем , . Частное решение НЛДУ: . 3) Общее НЛДУ является суммой найденных решений: ..

6. Метод вариации произвольных постоянных

для НЛДУ высших порядков

Метод вариации произвольных постоянных для решения НЛДУ высших

порядков применяется, если не совпадает с функциями, перечисленными в таблице решения НЛДУ методом неопределенных коэффициентов.

Пусть известно решение соответствующего ОЛДУ: .

Общее решение НЛДУ

, где находятся из системы:

.

№ п/п	ЗАДАЧИ ПП 23 6. Метод вариации произвольных постоянных для НЛДУ высших порядков	Ответ
ПП 23 № 17	Найдите решение НЛДУ . Решение: Решение: 1) Найдем общее решение ОЛДУ : , , . . 2) , . , . 3)