МЕТОД СРЕДНИХ ПАРАМЕТРОВ

Полученные в предыдущем параграфе общие уравнения для тер­моэлектрогенератора сложны и, как правило, решаются с применением ЭВМ. Кроме того, как и всякие численные методы вычислений, они. теряют свою привлекательность из-за невозможности выявить законо­мерности влияния тех или иных факторов на изучаемые параметры термоэлектрогенераторов. Поэтому широко применяются приближен­ные методы расчета. Получаемые с их помощью результаты хотя и не так точны, обладают некоторыми преимуществами благодаря возмож­ности проведения аналитического анализа, получения простых и> удоб­ных соотношений между изучаемыми параметрами и физической на­глядности результатов.

Все приближенные методы расчета связаны или с усреднением каких-то параметров, которые не всегда постоянны, или с пренебре­жением влияния каких-то факторов из-за их малости.

Они применяются при расчете как отдельных термоэлементов, так и термоэлектрогенераторов в целом. Основные факторы, определяющие приближенный метод расчета,— математическая сложность и степень приближения к точному расчету, — как правило, взаимосвязаны. Чем большую точность расчета желаем получить, тем с большими матема­тическими затруднениями приходится встречаться. Поэтому почти всегда приходится выбирать между простотой расчета и величиной по­лучаемой погрешности, причем величину погрешности даже не всегда удается оценить. Особенно это относится к так называемому механи­ческому усреднению параметров, без изучения их взаимосвязи между собой. Можно, конечно, весь термоэлектрогенератор рассматривать как одиночный термоэлемент. Однако такое приближение можно рассмат­ривать лишь как нулевое. Совершенно ясно, что для технического расчета оно не всегда приемлемо.

Остановимся на самом распространенном методе расчета — методе средних параметров. Наиболее строгое обоснование метода средних параметров применительно к отдельному термоэлементу было дано в работе А. И. Бурштейна [2], результаты которой будем использовать при изложении этого метода применительно к термоэлектрогенератору.

Метод средних параметров предполагает, что основные параметры термоэлектрического материала (Я, а, т) независимы от температуры. В действительности для реальных полупроводников это не так. Поэтому необходимо отыскание закономерностей определения средних или, вер­нее, эффективных величин параметров.

Рассмотрим решение уравнения (4.2.1) при постоянных величинах Я, р, т. В этом случае уравнение будет линейным с постоянными коэф­фициентами

При граничных условиях

 

 

нетрудно получить

 

где

Получили выражения для определения тепловых потоков на гра­ницах термоэлектрического материала без учета эффекта Пельтье. Эти выражения точны, но неудобны для практического использования и дальнейшего анализа. Поэтому, воспользовавшись разложением функ-

ции по степеням q _х /q получим решения в форме рядов:

 

где

Разложение в ряд справедливо, если Для современных

термоэлектрических материалов это отношение обычно не превы­шает 0,3.

Из этих выражений видно, что величина потока тепла в основном определяется теплопроводностью (qx). Влияние эффектов, Джоуля и Томсона учитывается поправочными членами, стоящими в квадратных

е* |-r 1 1

скобках. При этом основное влияние оказывают члены—•—и——,

2 я_к

а следующий член составляет уже не более 5% основных поправок. Поэтому можно пренебречь членами второго и высших порядков ма­лости. Таким образом, получим простые выражения для тепловых по­токов, которые нужно рассматривать лишь как первое приближение:

Как видно из последних выражений, эффекты Джоуля и Томсона равноправны и независимы друг от друга. Взаимодействие этих эффек­тов, которое имеется в действительности, учитывается членами высших порядков в выражениях (4.3.2).

Воспользовавшись подстановкой

приведем общее уравнение (4.2.1) к виду,

При произвольной температуркой зависимости параметров X, р и т это уравнение, так же как и уравнение (4.2.1), не решается в квадра­турах.

Из всех возможных случаев, когда уравнение (4-3.5) решается, рассмотрим два крайних при р = 0 и т=0, физический смысл которых непосредственно вытекает из выражений (4.3.4) и (4.3.5).

Величина 0 представляет собой отношение удельного теплового потока в любом сечении термоэлемента к плотности тока. Последняя величина постоянна, поэтому изменение 0 целиком определяется изме­нением теплового потока от горячего спая к холодному. Поскольку изменение теплового потока между максимальным и минимальным зна­чениями определяется суммой удельных потоков Джоуля и Томсона, то в пределах изменения АТ его величина сохраняет свой по­рядок. Следовательно, и 0(Г) также сохраняет порядок своей вели­чины.

В зависимости от величины 0 будет меняться характер теплопро­водности. При больших значениях 0 можно пренебречь эффектом Джоуля, т. е. для удобства решения полагать р = 0. При малых значе­ниях 0 можно пренебречь эффектом Томсона и в уравнении (4.3.5) принять т=0. 0ба эти случая имеют практический интерес, поскольку работа термоэлектрогенератора соответствует большим значениям 0, а работа тепловых и холодильных установок — малым значениям 0.

При р = 0

Проинтегрируем и получим

где В — константа интегрирования; Я_г и Я_х — значения коэффициентов теплопроводности материала при у*= 0 и у=1 соответственно. Подстав­ляя значение 0 и интегрируя второй раз, получаем при граничных ус­ловиях Т

 

Из этого уравнения следует, что В><7х— |<?_т |. Если ^0,3, то q_x /В <0,5. Это дает основание представить В в виде ряда

где

Причем согласно теореме о среднем | | < | |. Из выражения (4.3.7)

следует, что в первом приближении константа Подставляя в пра­

вую часть выражения (4.3.7) qt, вместо В, находим второе приближе­ние. Последовательно повторяя эту операцию, получаем значение В с любой точностью:

Подставив полученное значение В в выражения (4.3.6), будем иметь вполне строгое решение.

Следует указать, что когда А, и т постоянны, то QtK 9 ^х (1 + «)-^1/я-

В этом случае выражение для В будет полностью совпадать с анало­гичным выражением при постоянных Я и т. Поэтому, поступая анало­гичным образом, как в случае постоянных параметров, пренебрежем членами второго и высших порядков малости. В том же приближении получим выражения для тепловых потоков уже при произвольной тем­пературной зависимости А и т

При т = 0 уравнение (4.3.5) имеет вид-^- + — = 0. Интегрируя это

dT 0

уравнение, получаем

 

где Bi>0 — постоянная интегрирования.

Это выражение предполагает наличие максимума температуры где-то по длине столбика, поскольку тепловой поток меняет знак. В термоэлектрогенераторах таких режимов практически нет. Поэтому выражения для тепловых потоков будут:

Для определения В_{ проинтегрируем выражение (4.3.10) при гра­ничных условиях (4.3.1) с учетом сказанного выше относительно знака перед радикалом. Выполнив необходимые преобразования, получим формулу

Так как выражение для теплового потока должно быть действи­тельным, то

что дает основание разложить подынтегральный бином в ряд. Выполнив почленное интегрирование, получим

где

Определяя В, методом последовательных приближений, который уже использовался при выводе формулы (4.3.8), получаем

Подстановка этого значения В_х в выражения для тепловых пото­ков (4.3.11) дает вполне строгое решение задачи. Однако сопоставле­ние с формулами, полученными для постоянных параметров, и оценка порядков величины членов, начиная с третьего, позволяет формулу

заменить с достаточной для практики точностью равенством

где

Справедливость этого приближения подтверждается также и тем, что непосредственная подстановка р = const и A,=const в формулу

обращает сумму членов, стоящих в квадратных скобках, на­чиная с третьего, в нуль.

Все изложенное выше позволяет полагать, что полученные из стро­гих решений (4.3.11) и (4.3.12) приближенные выражения для тепло­вых потоков имеют не меньшую точность, чем равенства (4.3.9). Окон­чательно эти выражения имеют вид

 

Приближенное общее решение. Рассмотренные два крайних случая позволили достаточно точно оценить влияние, которое оказывают на теплопроводность каждый из электрических эффектов в отдельности. В действительности режим термоэлектрогенератора в общем случае та­ков, что не позволяет пренебречь ни одним из указанных эффектов. Вместе с тем’ было показано, что в первом приближении влияния этих двух эффектов независимы друг от друга.

Более детальный анализ, проведенный в работе [2], показывает, что указанные закономерности не нарушаются и в других частных слу­чаях, например при произвольных зависимостях Х(Т) и т(Г) с линей­ным характером зависимости р(7’). Все эти соображения позволяют •синтетически получить приближенное общее решение [2]:

 

Эти формулы справедливы в том же приближении, что и (4.3.3) и являются непосредственным их обобщением на случай произвольно* температурной зависимости коэффициентов Я, р и т. Для физическо* интерпретации формул (4.3.13) целесообразно их несколько видоизме нить с учетом теоремы о среднем. Запишем их в следующем виде:

где

Из этих формул видно, что процесс теплопроводности в первом приближении протекает в общем случае так же, как и при постоянных величинах Я, р и т. Поэтому теплопроводность в термоэлементах, адиа­батически изолированных с боковых поверхностей, можно описать сле­дующим образом: через любой термоэлемент при наличии электриче­ского тока от горячего спая к холодному течет тепловой поток, кото­рый обусловлен наличием обычной теплопроводности и выделением в объеме термоэлемента теплот Томсона и Джоуля. В первом прибли­жении эти явления можно считать независимыми; удельные потоки тепла, обусловленные каждым из вышеуказанных эффектов, можно определять по средним величинам:

где Л, т, р — средние значения соответствующих величин.

При отсутствии электрического тока тепловой поток определяется только обычной теплопроводностью.

Как видно из выражений (4.3.14), тепло Томсона и Джоуля в об­щем случае делится на две неравные части, которые соответственно отводятся от горячего и холодного спаев. Соотношение этих частей можно вычислить с помощью формул (4.3.13) при наличии известной температурной зависимости Х(Г), р(Г) и т(Г). При постоянных Л, р и т эти теплоты делятся строго пополам.

Рассмотрим теперь тепловой баланс на спаях термоэлемента, со­стоящего из термостолбиков р- и я-типов. Общее выражение для удельного потока тепла на горячем спае /-го термоэлемента имеет вид

где S_p и S_n — площади поперечного сечения термостолбиков соответ­ственно р- и п-типов.

В рассматриваемом приближении это выражение можно записать в виде

В методе средних параметров это выражение заменяется менее точным, но зато более простым и удобным для практических расчетов:

Обозначая

получаем

где

Аналогично получим выражение для потока тепла, отводимого от хо­лодного спая термоэлемента,

 

В эти выражения можно подставлять среднее значение коэффициента термо- э. д. с., вычисляемое по формуле [2],

f a_pdT + f a „dr

Л,

Точное значение должно рассчитываться по формуле [2]

J Л_рЙГ

T

¹ V

Рассмотрим электрическую цепь термоэлектрогенератора. Пусть цепь состоит из п параллельных ветвей, в каждой из которых содер­жится m последовательно соединенных термоэлементов. Для предот­вращения паразитных перетечек тепла между параллельными цепями, как уже указывалось ранее, необходимо выполнить условие идентич­ности температурных полей для всех параллельных цепей. Если это* условие выполнено, то тепловой баланс для горячего спая термоэлек­трогенератора можно записать в виде

сг

а⁽_г^р) + а<^п)

^тг т т_т

J t„J MTdT J т_р|

>', К |_

'г т

m тр

Qr = 2 = Си- +Q> - 0.5Q; = 2 ««Гг. * +

m m

/=1

i =1

аналогично для холодного спая

тп

1=1

(4.3.18)

Q_x =* Qx^}= Qa—z + Qx + 0,5Q_y- — In Qb/Tx _t 4-

i=\

i =1

f SWi+°,5/‘ f 2^P<-

/=1

где Q$[l_x и Q£>* —приведенные теплоты Пельтье и Томсона для го- рячего и холодного спаев термоэлектрогенератора соответственно; Qj — теплота Джоуля; а_г- и р_г- — среднее значение соответственно термо- э. д. с. и удельного сопротивления для отдельного термоэлемента.

Следует иметь в виду, что среднее значение коэффициента термо- э. д. с. с изменением рабочего температурного перепада на термоэле­ментах также изменяется. Если это изменение значительно, то усред-

га

—

пять можно только по величине а Т_г = —.Если это изменение

m

незначительно, то формулы (4.3.18) совпадают с аналогичными для одноэлементного термоэлектрогенератора.

Выразив э. д. с. и ток термоэлектрогенератора:

тп _

£=2а_гА7у, (4.3.19)

/=1

2 «ДО

(4.4.10)

j m ’

(1 + АО — 2 (

^nS 7t\

где M=R/r — относительная величина нагрузки термоэлектрогенера­тора, получим формулы для вычисления теплот Пельтье—Томсона и Джоуля:

(г)

i=1

Qh^x

<х> __

m m

2“*^fx,2 «/ATi

*=i t=i

IctiT_X' i =

i=1

(4.3.20)

Q,= Pr =

m \ 2

2 “«AT/ I /=1 /

/ ^m

d+M¹'—SS

/=1

Таким образом, получили все основные рабочие формулы для вы­числения основных параметров термоэлектрогенератора.

Целесообразно в некоторых случаях балансы тепла на спаях пред­ставить в несколько видоизмененной форме:

m m

2 “«АТ/ 2 “/ ^Тг. I 1 /=1 1=1

Q_r = Qx

i

1 +м

m m

2^2 w

i=i t=i

k 2

(IH‘

m m

2 pi 2 w

1=1 i—\

2 (1 + Ai)²

(4.3.21)

Qx = Qx

1 +

_t 2 2 «^x, i

1 i=l i—l

1 + M

l

2(1 +M)²

m m

2 о/ 2 w

i=l i=l

/ ^m - \²

m m __

2 n 2 w

i=l i=l

В случае постоянных параметров а, р и Я формулы для расчета многоэлементного термоэлектрогенератора становятся аналогичными формулам, выведенным для одноэлементного термоэлектрогенератора.

В заключение следует отметить, что не обязательно суммировать по всем термоэлементам генератора. Для практических расчетов вполне достаточно просуммировать по нескольким группам термоэлементов, усреднив параметры внутри каждой группы. Естественно, чем больше число групп, тем точнее результаты вычислений.