Решение типового примера.

Задача 10. Имеются результаты себестоимости производства 1 ц (тыс. руб.) (генеральная совокупность). Произведена случайная выборка, получено 20 вариант измерений: 35,9; 35,3; 42,7; 46,2; 25,9; 35,3; 33,4; 27,0; 38,8; 38,4; 31,3; 35,9; 33,7; 38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8.

Требуется:

1) получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот;

2) найти основные выборочные характеристики: , , , , ;

3) с надежностью 95% найти доверительный интервал для оценки генеральной средней .

Решение.

1) Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда, т.е. располагая их в порядке возрастания:

25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7; 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.

Для того чтобы составить вариационный интервальный ряд найдем размах вариации выборки по формуле . Максимальное значение , а минимальное - , тогда . Этот размах разбиваем на определенное

количество классов. При малом объеме выборке
(20-40 вариант) берется 5-6 классов. Длину классового интервала находим по формуле:

Получим 5 интервалов: первый 25,9 - 30,0; второй 30,0 - 34,1; третий 34,1 – 38,2; четвертый 38,2 – 42,3; пятый 42,3 – 46,4.

С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения (25,9 и 27,0), поэтому . Во второй интервал попадают четыре значения (30,8; 31,3; 33,4; 33,7), поэтому . Аналогично , , .

Полученный интервальный вариационный ряд запишем в виде таблицы:

	Интервал значений измерений величины	Частоты вариант	Относительные частоты	Плотность относительных частот
	25,9 – 30,0		0,1	0,024
	30,0 – 34,1		0,2	0,049
	34,1 – 38,2		0,35	0,085
	38,2 – 42,3		0,2	0,049
	42,3 – 46,4		0,15	0,037
			1, 00

Относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал находим по формуле: , где - частота каждого интервала, а -объем выборки. В нашей задаче .

;

; ;

Для проверки вычисляем сумму относительных частот, она должна равняться 1, т. е . Так как в нашем случае , то вычисления сделаны правильно. По формуле вычислим плотности относительных частот вариант. Получаем:

;

;

Полученные результаты записываем в таблицу.

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются классовые интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот . Классовые интервалы откладывают на оси абсцисс, а значения откладывают на оси ординат, масштаб выбираем разный по осям.

Гистограмма относительных частот (рис. 5)

Рисунок 5

2) Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам:

- выборочная средняя; - дисперсия;

- среднее квадратическое отклонение; - ошибка средней; - коэффициент вариации. Расчет и производим с помощью таблицы 3.

Округляем значение средней выборочной до десятичных. Заполняем третий столбец таблицы, в которой записываем значения отклонений, т. е разности . Для контроля можно вычислить сумму всех отклонений. Если разности вычислены правильно, то их сумма равна нулю. Затем значения отклонений возводим в квадрат и заполняем последний столбец таблицы. Вычислим сумму и разделив ее на , получим значение дисперсии:

.

Таблица 3

№	Результат обследования	Отклонение
	25,9	-10,1	102,1
	27,0	-9,0	81,00
	30,8	-5,2	27,04
	31,3	-4,7	22,09
	33,4	-2,6	6,76
	33,7	-2,3	5,29
	34,2	-1,8	3,24
	35,3	-0,7	0,49
	35,3	-0,7	0,49
	35,5	-0,5	0,25
	35,9	-0,1	0,01
	35,9	-0,1	0,01
	37,4	1,4	1,96
	38,4	2,4	5,76
	38,6	2,6	6,76
	38,8	2,8	7,84
	40,9	4,9	24,01
	42,7	6,7	44,89
	44,1	8,1	65,61
	46,2	10,2	104,04
	720,3		490,05

Просуммировав варианты , занесем сумму в нижнюю строку таблицы под вторым столбцом.

Далее находим среднее квадратическое отклонение выборочное: и ошибку средней .

Вычисляем коэффициент вариации

.

Поскольку , то изменчивость измерении следует считать средней.

3) Доверительный интервал для оценки генеральной средней определяем по формуле:

.

Так как выборка маленькая, то ошибка репрезентативности подчиняется закону распределения Стьюдента и параметр находится с помощью таблицы приложения 2 методического указания.

, где -заданная надежность, а - объем выборки.
В нашем примере , по таблице имеем . Вычислим теперь радиус доверительного интервала:

.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что средняя себестоимость производства 1 ц (тыс. руб.) во всей генеральной совокупности (генеральная средняя) заключена в пределах:

(гарантированный минимум)

до (возможный максимум).

Тема 7. Корреляционный анализ (задачи 121-140). Перед выполнением задач необходимо изучить вопросы 2.3 второго раздела дисциплины и разобрать решение задачи 11.

В задачах 121 - 140 требуется: 1) найти коэффициент корреляции и сделать вывод о тесноте и направлении линейной корреляционной связи между признаками; 2) составить уравнение прямой регрессии на ;