Пусть функция 
дифференцируема в любой точке интервала (a, b). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке графика.
Определение 4. Непрерывная функция называется выпуклой вниз (т.е. вогнутой) (рис.3), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной к графику на интервале (a, b). И называется выпуклой вверх (рис.4), если все точки кривой лежат ниже этих касательных.
Рис.3 Рис.4
Теорема 4.
Если функция имеет на интервале (a, b) конечную вторую производную 
и 
во всех точках х интервала (a, b), то график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз (вогнут). Если 
во всех точках х интервала (a, b), то график данной функции имеет выпуклость, направленную вверх.
Определение 5. Точки, при переходе через которые функция меняет направление выпуклости, называются точками перегиба функции 
.
Определение 6. Точка 
называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки 
, в пределах которой график функции слева и справа от точки х 0 имеет разные направления выпуклости.
Теорема 5. (необходимое условие существования точки перегиба).
Если функция дважды дифференцируема в точке , непрерывна в этой точке, и ее график имеет перегиб в точке , тогда 
.
Теорема 6. (достаточное условие существования точки перегиба).
Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки 
и пусть , либо 
, либо 
не существует, тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная 
имеет разные знаки слева и справа от точки х 0, то график функции имеет перегиб в точке .
Замечание. Точка разрыва не является точкой перегиба, хотя при переходе через нее кривая зачастую меняет направление выпуклости.
Асимптоты
Определение 7. Прямая 
называется асимптотой для кривой , если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат в бесконечность.
Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение 8. Прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено хотя бы одно из условий:
т.е. точка является точкой разрыва второго рода.
Определение 9. Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика функции , если 
.
Определение 10. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции 
если существуют числа k и b такие, что
, 
.
Замечание. Если оба предела существуют и конечны (т.е. равны числам), причем 
, то существует и наклонная асимптота. Если k = 0, то получим горизонтальную асимптоту. Если 
или 
, то наклонных асимптот не существует.
План исследования графика функции
1. Найти область определения функции.
2. Найти область непрерывности функции и точки разрыва. Определить характер точек разрыва.
3. Найти нули функции (точки пересечения с координатными осями).
4. Установить, не является ли график функции симметричным относительно какой-нибудь прямой (или координатной оси) или точки, т.е. проверить, является функция четной, или нечетной, или ни той и ни другой.
5. Проверить функцию на периодичность.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы.
7. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
8. Найти асимптоты.
9. Найти несколько дополнительных значений функции.
10. Построить график.