Среднеквадратичное отклонение

Измерение физической величины и обработка полученных результатов

Цель работы: измерение периода малых колебаний маятника и изучение методов обработки прямых измерений.

Измерительные приборы и устройства: электронный секундомер, линейка, маятник, тонометр.

Теоретические сведения.

Основой любой технической дисциплины является измерение. Измерение – это операция или процедура, позволяющая присвоить каждому из ряда однородных свойств изучаемых объектов определенное числовое значение. Для выполнения такой операции необходимо иметь тело (носитель свойства), для которого числовое значение выбранного свойства равно единице. Такое тело называют эталоном. Его основные характеристики:

1) воспроизводимость: результаты измерений должны быть одинаковыми в любых лабораториях;

2) устойчивость: эталон должен сохранять свои свойства в течение достаточно большего промежутка времени (значительно большего, чем время измерения).

Важным постулатом теории измерений является утверждение: существует истинное или точное значение измеряемой величины. В действительности, измерение любой физической величины может быть произведено с ограниченной точностью, а значит «истинное» значение её не наблюдаемо. С другой стороны, как строить математические модели физических процессов, если не принять такого постулата? Иногда считают точным значение, получаемое как следствие некоторой математической модели процесса. Такая позиция соответствует предположению, что в основе физики лежит математика. Но главное отличие физики от математики как раз в экспериментальной основе физики (принцип наблюдаемости). Возможный выход: принять постулат о существовании истинного значения измеряемой величины в качестве правдоподобной гипотезы.

Дальнейший путь построения теории измерений связан с введением понятия точности измерения. Точность измерения некоторого свойства или физической характеристики определяется долей меры эталона этого свойства, при которой полученное численное его значение считают достоверным. По отношению к точности различают два типа измерений: детерминированные и случайные. Рассмотрим сначала более простые детерминированные измерения.

1.1.1. При детерминированных измерениях воспроизводимые результаты лежат в пределах точности, допускаемой измерительным прибором. Погрешность измерений (или абсолютная погрешность, D х) определяется наименьшим значением, которое можно зарегистрировать по шкале прибора. Обычно точность оценивают половиной одного деления шкалы стрелочного прибора или единицей последнего разряда числа, высвечиваемого на электронном табло цифрового прибора. Аналогичную оценку дает класс прибора. Например: класс 0,5 показывает, какой процент от величины максимальной отметки на шкале прибора составляет его точность. Результаты оценки детерминированного измерения представляют в виде

х = á х ñ ± D х = á х ñ(1 ± d _х) (1)

где x - измеряемая величина, á х ñ - значение этой величины, в том или ином виде представляющее истинное её значение (более точное определение см. ниже формулы (2)-(4)), - относительная погрешность измерений.

Величину называют точностью. Каждое из серии таких измерений приводит к значению, лежащему в пределах (á х ñ-D х, á х ñ+D х). Для таких измерений представительным является даже одно измерение, например, измерение температуры человека.

1.1.2. При случайных измерениях в серии опытов возможно появление некоторых, не учитываемых возмущений, их называют случайными. Это приводит к тому, что от опыта к опыту регистрируемые значения, измеряемой величины выходят за пределы точности приборов, которую называют инструментальной погрешностью. Встает вопрос: как из серии измеренных значений выбрать одно представительное? Чтобы разобраться в ситуации рассмотрим пример.

Пусть необходимо измерить скорость машины на участке дороги. Для чего выполняют прямые измерения участков пути D s_i и соответствующие интервалы времени - D t_i. Рассчитанные по этим данным значения скорости являются косвенными измерениями. Заметим, при использовании спидометра косвенные измерения превращаются в прямые.

Если дорога качественная и машина работает ровно и без перебоев, так что скорость должна быть постоянной, то на каком бы участке не производить измерения D s_i и D t_i результат в пределах инструментальной погрешности будет одним и тем же. Но это идеальные условия. Даже очень хорошая дорога имеет дефекты, а машина и водитель не совершенны. Есть сопротивление воздуха, дорога может быть изношена, теплоноситель в радиаторе может перегреться или застыть, есть и другие факторы, которые не поддаются учету. Поэтому, на разных участках дороги локальные значения скорости, скорее всего, будут различными. Их можно характеризовать рядом:

₁(D s ₁,D t ₁), ₂(D s ₂,D t ₂), … (2)

Как из этого ряда выбрать «истинное»? Есть множество способов, укажем некоторые:

с реднее арифметическое

, где , (3)

где n – количество измерений физической величины ;

Среднее геометрическое

; (4)

Средневзвешенное

(5)

где T = D t ₁ + D t ₂ + … D t_n – полное время пути.

При большом числе измеренных значений удобно перейти от суммы к интегралу

. (6)

В общем случае, если неизвестны причины вариации измеряемой величины или таких причин слишком много, говорят об измерении случайной величины. Их описывают с помощью теории вероятности. Приведем некоторые основные понятия этой теории. Доля n _A значений скорости (или любой другой случайной переменной) от полного числа измеренных значений n называют частотой реализации значения _A (события А):

, (7)

Предел , называют вероятностью реализации _A. Вероятность значений скорости реализующихся на единичном ее интервале называют плотностью вероятности

. (8)

На рис.1 приведены графические иллюстрации функции распределения вероятностей (а), соответствующей ей плотности вероятности непрерывной случайной величины (б), а также зависимость частоты реализации n_i / n дискретной случайной величины _A (в). Последняя зависимость называется гистограммой. С помощью гистограммы, отражающей реальное распределение случайной величины, пользуясь формулой (5) нетрудно с заменой n_i / n = n_i найти средневзвешенное

á ñ_в = å _i n _i. (5¢)

а) б) в)

Рис.1. Основные распределения: а) распределения вероятностей, б) плотности вероятности непрерывной случайной величины, в)гистограмма.

Важными характеристиками случайной величины являются:

Дисперсия

D = å(á ñ - _i)² n _i; (9)

среднеквадратичное отклонение

, (10)

заметим, что отклонения случайной величины от среднего значения могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому используют среднеквадратичное значение;