относительная флуктуация

. (11)

Получим полезные соотношения

 

, тогда . (12)

 

В результате построения гистограммы может оказаться, что все частоты n _i одинаковы. При этом все значения измеряемой величины будут равновероятными и средневзвешенное (5) переходит в среднее арифметическое (3).

Утверждение о том, что реализуется то или иное распределение физической величины, является гипотезой, требующей экспериментального обоснования, которое дает гистограмма. Она не только описывает исследуемую случайную величину, но и характеризует систематические ошибки, обусловленные непосредственно не наблюдаемыми причинами. Так, в опыте с маятником случай представлен не наблюдаемой аэродинамической обстановкой. Поэтому в специальных экспериментах с помощью гистограммы можно получить информацию о воздушных потоках, преградах и гидродинамических сопротивлениях возникающих при движении шарика маятника.

 

1.1.3. З амечания о погрешностях измерений. Если бы возле спидометра электромагнитной системы рядом оказался постоянный магнит, показания прибора могли бы сместиться на некоторую постоянную величину – это пример систематической погрешности, которая обусловлена постоянно действующим посторонним фактором. Точно так же водитель мог попасть в пробку, остановиться, чтобы заправиться, наконец, на каком то участке пути мог форсировать скорость. В результате на гистограмме скорости могут появиться пики или впадины, не вписывающиеся в преимущественно равномерное движение машины. Такие особенности (ошибки) случайного поведения объекта исследования называют промахами. Такие значения случайных величин при расчете средних, как не типичные для общего поведения объекта, обычно отбрасывают.

Измерение детерминированной физической величины можно рассматривать как измерение случайной величины с постоянной плотностью распределения, т.е. распределенной равномерно по интервалу ее возможных значений. Для таких измерений средневзвешенное значение вырождается в среднее арифметическое.

 

Измерения подразделяют на прямые и косвенные.

В прямых измерениях физическую величину сравнивают с эталоном непосредственно или пользуются измерительным прибором, проградуированным в соответствующих единицах.

При косвенных измерениях искомую величину u определяют по результатам прямых измерений других величин x, у,..., z, которые связаны с измеряемой функциональной зависимостью. Сначала измеряют и оценивают эти, непосредственно измеряемые (косвенные) величины, а затем вычисляют искомую величину. Рассмотрим физическую величину u = f (х, у,…, z). Тогда ее дифференциал

 

Если косвенные величины x, у,…, z являются статистически независимыми в процессе измерения, то абсолютную погрешность D f можно оценить выражением

 

. (13)

 

Пример: ускорение силы тяжести связано с длиной маятника l и периодом колебаний T формулой

 

. (14)

 

Для нахождения g необходимо измерить l и T. Эти величины являются независимыми. Их абсолютные погрешности D l и D T. По формуле (13), имеем

 

, (15)

 

сюда вместо l и T необходимо подставить á l ñ и á T ñ, а вместо D l и D T абсолютные погрешности непосредственных измерений длины и периода.

1.2. Сведения об исследуемой физической величине и методе ее измерения.

В работе измерению и обработке подлежит период малых колебаний твердого металлического шарика подвешенного на длинной легкой нити. Условие малости колебаний означает, что угол отклонения нити от вертикали выраженный в радианах << 1 (1 рад. = 360/2p » 57,3°). При этом период можно считать не зависящим от амплитуды (размаха) колебаний. Если учесть трение, период сохраняется и с уменьшением амплитуды. Обычно считают j £ 5° » 0,0873рад. Примем l = 1,0м, тогда амплитуда колебаний составит

а = l ×j » 1,0м×0,0873рад. = 8,7 см. (16)

 

Чтобы уменьшить ошибку непосредственной регистрации момента прохождения шариком некоторого фиксированного положения (например, точки поворота) измеряют время n следующих друг за другом колебаний (обозначим его t_i, i – номер опыта). Период колебаний Т_i – это время от начала движения до возврата в исходное положение. Тогда

,

Абсолютная погрешность измерения Т_i

,

где Dt – погрешность измерения времени. Заметим, что при визуальной регистрации Dt £ 0,05с (это частота неразличимых кадров в кино – 24 Гц). Число n нельзя выбирать произвольно, иначе можно было бы сколько угодно повышать точность измерений. Оно ограничивается, например, временем затухания t _з амплитуды колебаний до размеров шарика d или значением D t. Приведем оценку n

 

. (17)

 

Для опытов рекомендуем принять n = 5 (или найти по формуле (17), определив экспериментально t _з).

 

1.3. Последовательность выполнения работы.

Задание 1.

Отклоните шарик на указанное расстояние (см.(16)) от вертикали и приведите маятник в колебательное движение. Измерьте секундомером время 5 колебаний. Повторите процедуру 40 раз. Занесите результаты измерений в таблицу:

N	ti, с	Тi, с	N	ti, с	Тi, с
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.

 

Задание 2.

А) Накладываем манжет на руку так, чтобы воздушная трубка выходила по направлению ладони, а край манжета находился на расстоянии 2-3см от локтевого сгиба руки. Входная точка воздушной трубки должна находиться на уровне сердца. Принимаем спокойное положение.

Б) Нажимаем кнопку старт. После появления «0» и звукового сигнала прибор готов к измерению.

В) Возьмите резиновый нагнетатель в свободную руку и накачайте манжету до ожидаемого систолического давления (160-180 мм рт. ст.).

Г) После длительного звукового сигнала, означающего конец измерения, на дисплее высвечиваются значения систолического и диастолического артериального давления, а также пульса. Нажимаем кнопку спуска давления до нормального состояния и снимаем показания. Между отдельными измерениями интервал 2 мин. Результаты измерений занесите в таблицу на странице 9.

Абсолютная погрешность измерения пульса D Т = 1 с, давления D р = 1мм рт. ст.

1.4. Обработка результатов измерений.

Разбейте например, интервал (Т _min, Т _max) значений переменной Т на m =(Т _max- Т _min)/2DT промежутков и для каждого найдите значение Т_{i ср} = (Т_i + Т_{i +1})/2 и частоту попадания Т_i в этот интервал: n _i = N_i / N, где N_i – число опытов, в которых Т Î(Т_i, Т_{i +1}) и N = 40 – полное число опытов. На миллиметровке постройте гистограмму. Аналогичную процедуру выполните для переменных р _с, р _д.

По гистограмме и формулам (8) – (12) найдите á Т ñ, D_T, s _T, d _T.

Т min, c	Т max, c	m

 

№ промежутка i	Тi ср,с	Ni	n i
m

 

á Т ñ, c	DT	s T	d T

 

1.5. Придумайте условия, отвечающие систематической ошибке. Например, установите неподвижную книгу с одной стороны области колебаний, смените наблюдателя регистрирующего период, …

 

 

При новых условиях сделайте такую же серию опытов (заполните таблицы на странице 8). Выполните расчеты как в п.1.4. Сравните и проанализируйте полученные результаты, напишите свои выводы.

 

 

1.6. Контрольные вопросы.

1. Перечислите типы измерений, приведите примеры.

2. Что такое класс прибора? Приведите пример.

3. Дайте определение среднего, дисперсии, относительной флуктуации, среднеквадратичного отклонения.

4. Что такое гистограмма, частота события, вероятность?

5. Приведите и охарактеризуйте виды ошибок измерения.

6. Как придуманные Вами условия характеризуют причины систематической погрешности?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ. О записи результатов обработки измерений.

 

Правильную запись результатов измерения и вычисление приближенной величины проиллюстрируем на примерах. При округлении числовых значений:

х = 8,47 ± 0,1 » 8,5; у = 8,25 ± 0,1 » 8,2; z = 8,35 ± 0,1 » 8,4.

Абсолютную погрешность округляют до одной значащей цифры, а измеряемую величину округляют в соответствии с этой погрешностью:

g = 9,8246 ± 0,02385 = (9,82 ± 0,02) [м/c²],.

здесь цифры 9, 8 – верные, 2 – сомнительная, 4, 6 – неверные. При округлении абсолютной погрешности в ней всегда увеличивают последнюю оставляемую цифру на единицу: 0,031 » 0,04 (кроме случая, когда отбрасываемая цифра 0: 0,030 » 0,03). В записи 2,27 – две достоверные цифры, в записи 2,27000 –5 достоверных цифр.

В промежуточных вычислениях при операциях с приближенными числами сохраняют сомнительную цифру. В окончательном результате отбрасывают цифры начиная с сомнительной. Например,

» 3,79×10³ » 3,8×10³.

Константы в формулах округляют с относительной точностью равной наибольшей из относительных погрешностей измерения непосредственно измеряемых физических величин. Так в нашем примере при определении g из формулы для периода гармонического колебания d_Т = 0,04/1,6 = 0,025, d _l = 0,001/1,0 = 0,001, тогда для постоянной p имеем числовое значение (d_p = max{d_Т, d _l })

p = 3,141592(1 ± 0,025) » 3,141592 ± 0,08 = 3,14.

 

N	ti, с	Тi, с	N	ti, с	Тi, с
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.
	.			.

 

Т min, c	Т max, c	m

 

№ промежутка i	Тi ср,с	Ni	n i
m

 

á Т ñ, c	DT	s T	d T

 

N	р с, мм рт.ст.	р д, мм рт.ст.	Тi, с	N	р с, мм рт.ст.	р д, мм рт.ст.	Тi, с
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.
	.				.

p д min p дmax m

p cmin	p cmax	m

 

	№ промежутка i p д i ср Ni n i                                                                         m

№ промежутка i	p с i ср	Ni	n i
m

á p дñ D p д s p д d p д

á p cñ	D p c	s p c	d p c