ПКФ и внутренняя геометрия регулярной поверхности

Изменение длины кривой на поверхности

Пусть (u, v), где u, v∈W –регулирующая поверхность: u=u(t), v=v(t).

Кривая в области W, тогда (t)= (u(t), v(t)) –соответствующая кривая на поверхности.

Вопрос об измерении длины кривой на поверхности лежит в основе геометрической поверхности. Как мы знаем, для вычисления ее длины необходимо знать производные соотв. В ф.Вспомним некоторые сведения из математического анализа: пусть f(u, v), u(t), v(t) – гладкие функции, g(t)=f(u(t), v(t)) g’(t)=

Можно доказать, что дляв. Ф. она аналогичная:

’(t)= _u’(u(t), v(t))u’(t)+ _v’(u(t), v(t))v’(t)

| (t)|=

Введем обозначения(следуя Гаусу):

E, F, G – скалярные функции переменных u и v, определенные на W. Т.о. для длины дуги кривой получаем:

С учетом формулу можно записать в виде:

(1)

Дифференциальное выражение (2)

называется первой квадратичной формой поверхности(ПКФ).

Функции E(u, v), F(u, v), G(u, v) называются коэффициентами первой квадратичной формы поверхности.

Значение (2) формула (1) может быть записана очень кратко: (3)

Пример. Найти ПКФ поверхности вращения

(u, v)

Пусть и – регулярные поверхности, имеют одну и туже ПКФ: , .

Кривая область W Þ

– cсоответственные кривые на поверхности r₁ и r₂. Из формулы (3)Þ кривые r₁(t) и r₂(t) имеют одинаковую длину. Т.к. Внешняя геометрическая полнота определяется измерением кривых на поверхности, то можно сделать вывод, что поверхности r₁ и r₂ имеют одну и туже внутреннюю геометрию, т.е. одну поверхность можно получить путем изгибания другой поверхности. Такое изгибание можно описать отображением

Теорема: если 2 поверхности имеют одну и туже ПКФ, то их внутренние геометрии совпадают.

Замечание: при этом поверхности внешне будут совершенно различны.

ПКФ и внутренняя геометрия регулярной поверхности

Пусть – регулярная кривая в пространстве, и – ее натуральный параметр.

– поверхность касательной к этой кривой. Найдем ее ПКФ: пускай

В силу теорем 3 и 4 § 2 получаем: Þ

, т.к.

Þ Þ

Видим, что I зависит от кривизны, но не зависит от кручения.

Рассмотрим вспомогательную кривую , которая имеет такую же кривизну k и нулевое кручение X(u)=0 (существование этой кривой следует из теоремы Серре). Поверхности касательных кривых и имеют одну и туже самую ПКФ Þ их внутренние геометрии совпадают, но – плоская кривая. Все это обозначает, что поверхность касательной любой кривой локально имеет одну и туже внутреннюю геометрию, что и плоскость. Это так называемая теорема Эйлера.

Внутренняя геометрия малого куска произвольной поверхности касательной совпадает с внутренней геометрией куска плоскости. Поверхности, малые куски которых изгибаются на плоскости(т.е. имеют одну и туже внутреннюю геометрию, что и плоскость) называются развертывающимися.