Постановка задачи. Рассмотрим рынок ценных бумаг, на котором обращается некоторая совокупность активов 
.
Каждый актив 
характеризуется доходностью 
, представляющей собой дискретную случайную величину, которая принимает конечное число значений 
. Ее реализованное значение 
– это значение доходности в конце инвестиционного периода. Для описания дискретной случайной величины используются распределения вероятностей
В модели Г. Марковица используются количественные характеристики случайной величины – математическое ожидание, дисперсия и ковариация.
Математическое ожидание
где M[.] – оператор математического ожидания, представляет собой ожидаемую доходность.
Мерой риска служит дисперсия (вариация) 
, которая характеризует степень отклонения доходности как случайной величины от среднего значения. Она вычисляется по формуле
. 
Инвестор при принятии решений основывается на двух характеристиках: ожидаемой доходности и риске. Такой подход получил в англоязычной финансовой литературе название «mean-variance-approach» (среднее-вариация).
Для диверсификации (перераспределения) риска с целью его снижения составляется портфель. Возможность диверсификации в значительной степени зависит от ковариации между доходностями активов
, 
, 
где 
- совместное распределение
вероятностей величин R(i)=R(j), 
Ковариация является симметричной функцией, т.е.
.
, 
, 
Модель рынка по Марковицу - <A, m, C>,
.
Практическая оценка элементов модели
- временной ряд доходности актива аi
Cреднее арифметическое этой последовательности - оценка мат. ожидания, оценка ожидаемой доходности
. 
Оценка дисперсии (риска)
, 
- оценка ковариации доходностей 
и 
активов
и коэффициент корреляции
.
Портфели ценных бумаг
Характеристики портфеля. Под портфелем ценных бумаг, понимается совокупность активов в заданной пропорции.
Абсолютное описание. Пусть 
- множество активов, обращающихся на рынке
вектор 
, каждая компонента которого обозначает количество единиц zi входящего в портфель актива ai.
Портфель 
должен удовлетворять условию, согласно которому его начальная стоимость должна быть равна инвестируемому капиталу W0
где 
- начальная цена единицы актива 
, 
.
Относительный метод описания портфеля
где вес i -го актива 
представляет собой долю исходного капитала, инвестируемого в этот актив 
.
Основное ограничение портфеля Марковица
(12)
Пример 2. Пусть на рынке обращаются акции трех компаний –APD, X и IBM. Портфель состоит из 2 акций компании APD стоимостью $17 каждая и 3 акций компании IBM стоимостью $64. Тогда структура портфеля описывается вектором 
. Стоимость акций компаний APD и IBM в портфеле составляет соответственно:
Начальная стоимость портфеля равна
,
вес каждого актива
, 
, 
,
вектор весов 
Выразим доходность портфеля через доходности составляющих его активов.
Начальная стоимость портфеля 
конечную стоимость, 
,где 
- известные величины
Полный доход портфеля
,
- реализованная доходность портфеля
где (R, x) =RTx, R= (R1 R2 … Rn), x= (x1 x2 … xn)
. (15)
Оценим риск портфеля
Выразим центрированную доходность портфеля 
,
Получаем
, (16)
где 
- ковариационная матрица доходностей активов.
Модели портфелей. Инвестор формирует портфель из множества активов 
, приобретая каждый из них в количестве zi по цене P0i, в надежде получить доход за инвестиционный период. Стоимость активов данного вида равна 
, а их вес в общей стоимости портфеля W0 составляет 
. Очевидно, что вес – величина неотрицательная 
, удовлетворяющая основному ограничению (12)
.
Портфель такого вида называют стандартным
Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции)
Пример. Допустим, инвестор уверен, что акция некоторой компании, текущая стоимость которой $100, упадет в цене за полгода до $50. Он берет акцию взаймы у другого инвестора (кредитора) и, продав ее, получает $100. Если ожидания инвестора оправдаются, через полгода он снова может ее купить по цене $50. Пусть за полгода дивиденды на акции составили $5. Тогда инвестор получит от сделки доход, равный 100-50-5=$45.
Короткая продажа
Продажа ценной бумаги без покрытия на срок или выпуск ценной бумаги
Когда инвестор производит короткую продажу актива, то говорят, что он занимает короткую позицию по этому активу
Рассмотрим описание портфеля с учетом коротких позиций. Начальный капитал инвестора равен W0, и он продает с короткой позиции некоторый актив b на сумму 
.
После этого совокупный капитал (свой и заемный) инвестора достигает величины 
. На эти средства он приобретает активы, скажем, 
, затрачивая на каждый вид сумму 
, так что
.
,
где 
, 
Сделаем замену 
и приведем последнее равенство к основному ограничению портфеля (12)
.
Характеристики портфеля с короткими позициями вычисляются по формулам (15), (16).
Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми.
Стандартная модель (модель Марковица)
Вектор весов 
удовлетворяет двум ограничениям
. 
Модель Марковица обладает ограниченной доходностью
.
Модель Блека. Данная модель использует любые портфели, весовой вектор которых удовлетворяет лишь основному ограничению 
Условие 
Условие 
Условие 
Модель Блека допускает наличие коротких позиций, что позволяет реализовать большую доходность
Предположим, что портфель состоит из двух активов a 1 и a2 с доходностями m 1 =-0,5 и m2 =0,5 
W0 =1 
a 1, Wb 
Wb +1. Портфель будет описываться вектором весов 
и иметь ожидаемую доходность, равную 
. Если Wb большая величина, то большой будет и доходность.