ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ




Высшая математика

Семестр

Лекция 4.

Дифференцирование функций

Определение производной

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

Также производная обозначается как

Формально можно вычислять производные по определению, но мы для этой цели будем использовать правила вычисления производных и таблиц производных основных элементарных функций.

Геометрический смысл производной

 

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

 

Значение производной в точке совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Прямая имеющая две общие точки с кривой называется секущей. При сближении точек секущая стремится к своему предельному положению: это предельное положение и есть касательная в точке.

Механический смысл производной:

- зависимость пути от времени

- первая производная пути по времени – это скорость

-вторая производная пути по времени или первая производная скорости по времени – это ускорение

Экономический смысл производной см. в приложении к лекции

Основные правила вычисления производных.

Таблица производных основных функций


 

 


Задачи на основные правила вычисления производных

 

v Пример 1.

Найти производную функции

 

 

Использовали правило вычисления производной суммы:

(Распространяется на любое количество слагаемых) Распространяется на любое количество слагаемых

 

Использовали правило -постоянный множитель выносится за знак производной

Использовали табличные производные для функций:

v Пример 2.

Найти производную функции

 

Использовали правило вычисления производной произведения:

Использовали табличные производные для функций:

 

v Пример 3.

Найти производную функции

 

 

Использовали правило вычисления производной частного:

Использовали также правило производной суммы, свойство - производная постоянной равна 0.

Использовали табличные производные для функций:

 

Правило вычисления производной сложной функции

Пусть переменная y есть функция переменной u ( ), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной x, т.е. задана сложная функция

Теорема

Если и -дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x, т.е.

 

Аналогично, если и и , то есть

 

v Пример 4

(внешняя функция , внутренняя функция

 

Использовали табличные производные , и правило вычисления производной сложной функции

Можно рассуждать по-другому и ввести следующие обозначения:

- обозначим внутреннюю функцию

Тогда

 

v Пример 5

тройная вложенность (в ln вложен cos, a в cos вложен )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Можно рассуждать по-другому и ввести следующие обозначения:

- обозначим внутреннюю функцию

Тогда

Для вычисления обозначим - внутреннюю функцию

Тогда

Подставляем:

 

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: