Высшая математика
Семестр
Лекция 4.
Дифференцирование функций
Определение производной
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:
Также производная обозначается как
Формально можно вычислять производные по определению, но мы для этой цели будем использовать правила вычисления производных и таблиц производных основных элементарных функций.
Геометрический смысл производной
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
Значение производной в точке совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Прямая имеющая две общие точки с кривой называется секущей. При сближении точек секущая стремится к своему предельному положению: это предельное положение и есть касательная в точке.
Механический смысл производной:
- зависимость пути от времени
- первая производная пути по времени – это скорость
-вторая производная пути по времени или первая производная скорости по времени – это ускорение
Экономический смысл производной см. в приложении к лекции
Основные правила вычисления производных.
Таблица производных основных функций
Задачи на основные правила вычисления производных
v Пример 1.
Найти производную функции
Использовали правило вычисления производной суммы:
(Распространяется на любое количество слагаемых) Распространяется на любое количество слагаемых
Использовали правило -постоянный множитель выносится за знак производной
Использовали табличные производные для функций:
v Пример 2.
Найти производную функции
Использовали правило вычисления производной произведения:
Использовали табличные производные для функций:
v Пример 3.
Найти производную функции
Использовали правило вычисления производной частного:
Использовали также правило производной суммы, свойство - производная постоянной равна 0.
Использовали табличные производные для функций:
Правило вычисления производной сложной функции
Пусть переменная y есть функция переменной u ( ), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной x, т.е. задана сложная функция
Теорема
Если и -дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x, т.е.
Аналогично, если и и , то есть
v Пример 4
(внешняя функция , внутренняя функция
Использовали табличные производные , и правило вычисления производной сложной функции
Можно рассуждать по-другому и ввести следующие обозначения:
- обозначим внутреннюю функцию
Тогда
v Пример 5
тройная вложенность (в ln вложен cos, a в cos вложен )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Можно рассуждать по-другому и ввести следующие обозначения:
- обозначим внутреннюю функцию
Тогда
Для вычисления обозначим - внутреннюю функцию
Тогда
Подставляем:
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ