Мн-во операций над мн-вами
Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.
Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва целых чисел и мн-ва четных чисел явл. Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во В, то разность В\А н-ся дополнением А до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов универсального мн-ва не принадлежащих мн-ву А.
Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней
Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел (Cегмент: [a,b]={x|a<x≤b} Полунтервал: (a,b]={x|a<x≤b} [a,b)={x|a≤x<b} [a,+∞)={x|a≤x<∞} (-∞,a]={x|-∞<x≤a}Интервал: (a,b)={x|a<x<b} (a,+∞)={x|a<x<+∞} (-∞,a)={x|-∞<x<a} R={x|-∞<x<∞}=(-∞,+∞)). Все эти мн-ва н-ся промежутками a,b –концами промежутков. [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] – конечные промежутки, остальные-бесконечные!
+можно взять из 3 вопроса
Грани числовых мн-в, св-во граней
Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.
Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым
Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.
Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.
Точные грани числовых мн-в
Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х*, то оно min мн-ва Х
Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $. min [0,1)=0
Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.
Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. Чисел.
Th о сущ. т.в.г. и т.н.г.
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во чисел, ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого х?Х и y?Y любого выполняется нер-во х≤у. В силу св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у выполняется нер-во х≤с≤у. Из первого нер-ва следует, что число с ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-ва следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г
Числовые последовательности, действия над ними
Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, …,хn, …(1,2,3,n –внизу) наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти. Над числовыми последовательностями можно выполнять след. Арифметические операции: произведение, сумма, разность, произведением на число, частное.
Огранич и неогранич пос-ти
Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.
Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.
Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними
Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. ("A>0)($N=N(A))("n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.
Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ("ε>0)($N=N(ε))("n>N):|An|< ε
Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.
Понятие сходящихся постей, lim пости.
Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e
Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.
Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N(e), такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.