Элементы аналитической геометрии

Обязательный минимум знаний

1. Вычисление производных (в том числе – производ. сложной функции и производ. высших порядков).

2. Раскрытие неопределенностей вида , .

3. Выпуклость и выгнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.

4. Наибольшие и наименьшие значения функций.

5. Условие монотонности функции.

6. Интегрирование рациональных выражений. Простые дроби и их интегрирование.

7. Интегрирование путем замены переменной.

8. Площадь фигуры, объем тела вращения.

9. Несобственные интегралы – решение простых примеров.

Программа по высшей математике

Введение в математический анализ

· Понятие множества. Операции над мно­жествами.

· Понятие окрестности точки.

· Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций.

· Предел числовой после­довательности. Свойства числовых множеств и последовательностей.

· Предел функции. Основные теоремы о пределах.

· Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

· Непрерывность функции в точке.

· Непрерывности функции на промежутке.

· Непрерывность элементарных функций.

· Глобальные свойства непрерывных функций. Функции нескольких переменных, их непрерывность.

Дифференциальное исчисление

· Производная и дифференциал.

· Основные формулы и правила дифференцирования.

· Ос­новные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

· Производные и диффе­ренциалы функций нескольких переменных.

· Производные высших порядков.

· Дифференциалы высших порядков.

· Применение дифференциала функции для приближенных вычислений.

Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков

· Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие и достаточное условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции отрезке.

· Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Интегральное исчисление

· Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования. Использование таблиц интегралов.

· Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

· Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием.

· Несобственные интегралы. Сходимость несобственных интегралов.

· Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.

Линейная алгебра

· Системы линейных уравнений.

· Элементы анали­тической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространст­ве.

· Определители. Системы векторов, ранг матрицы.

· N-мерное линей­ное векторное пространство. Евклидово пространство.

· Линейные операторы и матрицы. Собственные векторы и собственные значения линейных опера­торов.

· Квадратичные формы.

· Системы ли­нейных неравенств. Симплексный метод.

· Линейные задачи оптимизации. Основные опреде­ления и задачи линейного программирования. Теория двойственности. Дискретное программирование. Динамическое программирование. Нелинейное программирование.

Элементы высшей алгебры

· Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

· Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Формула Муавра. Показательная форма записи комплексного числа. Возведение в степень, извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Решение квадратного уравнения.

Элементы аналитической геометрии

· Элементы анали­тической геометрии на прямой. Уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

· Элементы анали­тической геометрии на плоскости. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.

· Элементы анали­тической геометрии в трехмерном пространст­ве. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Поверхности второго порядка. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений.