Введение.
Под ударом понимают кратковременное взаимодействие тел, возникающее в результате их соприкосновения. В качестве примера можно привести столкновение шаров, забивание свай и т.д. При ударе в течение кратковременного соприкосновения двух шаров происходит их деформация. Кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел переходит в энергию упругой деформации. При этом возникают упругие силы, возрастающие с увеличением деформации. Во время второй фазы удара потенциальная энергия деформации переходит в кинетическую энергию движения шаров. При столкновении абсолютно упругих шаров должна происходить только обратимая деформация, т.е. полное восстановление формы соударяющихся тел. Это приводит к тому, что сумма импульсов (количество движения) до удара и после удара будут равны.
Пусть два абсолютно упругих шара с массами m1 и m2 движутся до соударения со скоростями 
, а после соударения со скоростью 
и 
, соответственно.
Тогда можно записать следующее равенство:
(1)
m1 
1 + m2 
= m1 + m2 , (2)
это не что иное, как математическое выражение законов сохранения энергии и количества движения. В результате совместного решения уравнений (1) и (2) получаем выражение для u1 и u2 в виде:
(3)
(4)
Рассмотрим простой случай центрального столкновения для упругих шаров с равной массой. Удар называется центральным, если направление движения двух соударяющихся шаров, в момент их соприкосновения, совпадает с прямой, соединяющей центры шаров.
Пусть, m1 < m2J2 = 0 (рис.1).
 |
Для рассматриваемого случая, если шары абсолютно упругие и если за положительное направление принять направление вектора вправо, то равенства (3) и (4) примут вид:
(5)
(6)
Так как по условию m1 < m2, то числитель в правой части равенства – число отрицательное, поэтому u1 – отрицательное число, то есть скорость первого шара после соударения будет направлена в противоположную сторону – влево. Число u2 – положительное, то есть второму шару в результате соударения будет сообщено движение в направлении вектора .
Формулы (5) и (6) можно преобразовать, разделив, справа числители и знаменатели на m2, к виду:
(5а)
(6а)
На рис.2 показана зависимость скоростей u1 и u2 после удара от соотношения масс шаров.
 |
Согласно формулам (5) и (6), зная массы абсолютно упругих шаров и их скорости до соударения, легко рассчитать кинетические энергии шаров после соударения.
Однако в процессе соударения реальных шаров некоторая часть кинетической энергии необратимо преобразуется в энергию колебаний частиц внутри шаров (нагревание, звук), на остаточную деформацию. Эту часть энергии можно рассматривать как необратимые потери. Следовательно, сумма кинетических энергий реальных шаров до столкновения всегда больше суммы кинетических энергий после соударения на величину необратимых потерь Е, т.е.:
(7)
Поэтому действительные значения u1 и u2 после столкновения реальных шаров будут меньше, чем вычисленные по формулам (3) (4) или (5) и (6).
Для реальных шаров скорости и кинетические энергии можно определить опытным путем. Шары для опыта укрепляются на двух нитях (рис.3).
Рис.3.
Длины отвесов одинаковы. Для измерения углов отклонения шаров от положения равновесия служит шкала 9.
Отведем шар с меньшей массой (m1) на угол a¢, т.е. сообщим этому шару потенциальную энергию, равную mgh. Отпустим шар. В момент прохождения равновесия, произойдет соударение шаров. Кинетическая энергия шара m1 до соударения равна:
(8)
Откуда его скорость до соударения: J1= 
(9)
Сопротивлением воздуха и трением пренебрегаем. После соударения произойдет перераспределение кинетической энергии между шарами, и они с некоторыми скоростями 
и 
начнут двигаться в разные стороны от положения равновесия до тех пор, пока кинетическая энергия шаров не перейдет в потенциальную энергию. При этом шар m1 поднимется на высоту h1¢, описав дугу a, а шар m2 поднимется на высоту h2, описав дугу b. Аналогично можно записать, что 
и 
.
Так как 
из D АОD и DАВС из рис.3, а 
, то предыдущие равенства можно переписать в виде:
(10); 
(11)
Формулы (10) и (11) определяют скорости реальных шаров после соударения. Подставляя в формулу (7) выражения (9), (10) и (11) получаем, что: 
, откуда после алгебраических преобразований получим:
Е = [m1(соsa¢ - соsa) + m2(1 - cоsb)]gl (12)
Отношение относительной скорости тел после удара (u1¢- u2¢) к относительной скорости тел до удара (J1- J2) называется коэффициентом восстановления:
(13).
В условиях опыта коэффициент восстановления может считаться величиной зависящей только от материала соударяющихся тел. Величину коэффициента восстановления удобно определять при центральном ударе шаров. Для этого можно использовать установку, показанную на рис.3.
Шары укрепляются на нитях. Шар, имеющий меньшую массу m1, отводят на угол a¢ и отпускают его. В момент соударения шар m1 имеет согласно формуле (9) скорость J1= , а скорость шара m2: J2=0. После соударения скорости шаров имеют u1¢и u2¢ определяются по формулам (10 и 11). Тогда для коэффициента восстановления имеем:
(14)
При определении разности скоростей шаров после удара (u1¢- u2¢) нужно учитывать направление скоростей u1¢и u2¢ и в формуле (14) брать их с соответствующим знаком.
Из динамики соударения шаров можно определить среднюю силу удара. На основании второго закона Ньютона имеем:
.
Если рассматривать это уравнение применительно к удару, то F – средняя сила удара, Dt – время удара, т.е. время соприкосновения ударяющихся тел, m – масса одного из соударяющихся тел, DJ - изменение скорости этого тела, возникшее в результате удара. При известной массе шаров среднюю силу удара всегда можно вычислить, зная скорость шара и время соударения. Измерения баллистическим методом показывают, что время соударения двух стальных шаров составляет около одной десятитысячной доли секунды (10-4 с).
Аналогично, отведем шар с меньшей массой m1 на угол a¢ и отпустим его. Первоначально шар с массой m2 находится в состоянии покоя (
). После соударения он приобретает скорость u2¢ и опишет дугу b (см. рис.3). Скорость u2¢ можно определить по формуле (11). Таким образом, изменение скорости шара m2 равно:
(15)
Отсюда находим, что средняя сила удара равна:
(16),
где Dt » 10-4 c.
Описание установки:
Установка представляет собой треногу (1) на трех подъемных винтах, трубы (2) несущей подвески шаров (3). Бифилярный подвес (4), несущий шар, имеет возможность перемещаться, изменяя тем самым межцентровое расстояние. Перемещение направляющей с подвесками осуществляется при помощи ручки (5). Трос, закрепленный на концах направляющей, перекинут через ролики и, проходя внутри трубы, наматывается на валик. Ручка, связанная с валиком, выведена на лицевую сторону треноги. При изменении межцентрового расстояния левую шкалу (6) необходимо сместить. Электромагнит (7), удерживает шар, подвешен на штанге (8) и может перемещаться вдоль шкалы (9).
Выполнение работы
1. Определить массы шаров взвешиванием на рычажных весах.
2. Измерить с помощью штангенциркуля диаметры шаров.
3. Подвесить два шара бифилярным подвесом.
4. Измерить линейкой расстояние от точки подвеса до шаров (длину нитей li). Вычислить длину подвеса по формуле:
l = li + 
,
где Di – диаметр шара.
Результаты занести в таблицу1.
Таблица 1.
| № шара | Масса шара (m) | Диаметр шара (Di) | Длина подвеса (l) | Длина нити (li) |
5. Отвести более легкий шар на угол a¢ и включить питание электромагнита. Электромагнит притянет шар. Убедиться, что более тяжелый шар неподвижен. Выключить питание электромагнита. Легкий шар опишет дугу и ударится о более тяжелый шар. Заметить и записать углы отклонения a (легкий шара) и b (тяжелого шара) после первого соударения. Повторить опыт не менее десяти раз. Рассчитать средние значения для a и b. Результаты записать в таблицу.
6. Заменить более тяжелый шар на другой и повторить, описанные в п.5 измерения. Таким образом, заменяя шары, проделать опыты с шестью комбинациями имеющихся шаров.
7. Для каждой комбинациями имеющихся шаров рассчитать:
§ необратимые потери энергии по формуле (12);
§ коэффициенты восстановления по формуле (14);
§ среднюю силу удара по формуле (16);
8. Во всех случаях оценить погрешности.
9. Построить на миллиметровой бумаге экспериментально полученную зависимость скоростей от соотношения масс соударяющихся шаров 
с теоретической, данной по формулам (5а) и (6а). Объяснить полученные результаты.
Контрольные вопросы
1. Почему силы, возникающие при ударе очень велики?
2. К какому моменту времени относятся уравнения (1) и (2)?
3. Чему будет равна скорость второго шара после удара, если размеры обоих шаров одинаковы (удар центральный), если скорость первого шара равна нулю?
Литература
1. С.Э.Фриш. и А.В.Тиморева. Курс общей физики. Т.1.
2. А.И.Китайгородский. Введение в физику.
3. А.В.Кортнев. Практикум по физике.