Лабораторная работа 4.
IV. Математический анализ: дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных.
1. Вычисление пределов.
2. Дифференцирование.
3. Дифференциальное исчисление функции многих переменных.
4. Исследование функции.
§1. Вычисление пределов
В Maple для некоторых математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая – отложенного исполнения. Имена команд состоят из одинаковых букв за исключением первой: команды прямого исполнения начинаются со строчной буквы, а команды отложенного исполнения – с заглавной. После обращения к команде отложенного действия математические операции (интеграл, предел, производная и т.д.) выводятся на экран в виде стандартной аналитической записи этой операции. Вычисление в этом случае сразу не производится. Команда прямого исполнения выдает результат сразу.
Для вычисления пределов имеются две команды:
1) прямого исполнения – limit(expr,x=a,par), где expr – выражение, предел которого следует найти, a – значение точки, для которой вычисляется предел, par – необязательный параметр для поиска односторонних пределов (left – слева, right – справа) или указание типа переменной (real – действительная, complex – комплексная).
2) отложенного исполнения – Limit(expr,x=a,par), где параметры команды такие же, как и в предыдущем случае. Пример действий этих команд:
> Limit(sin(2*x)/x,x=0);
> limit(sin(2*x)/x,x=0);
С помощью этих двух команд принято записывать математические выкладки в стандартном аналитическом виде, например:
> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=
limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);
Односторонние пределы вычисляются с указанием параметров: left – для нахождения предела слева и righ – справа. Например:
> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left)=
limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,left);
> Limit(1/(1+exp(1/x)),x=0,right)=
limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);
Задание 1.
1. Вычислить предел 
. Наберите:
> Limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1)=
limit((1-x)*tan(Pi*x/2),x=1);
2. Найти односторонние пределы 
и 
. Наберите:
> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,left)=
limit(arctan(1/(1-x)), x=1, left);
> Limit(arctan(1/(1-x)),x=1,right)=
limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);
Дифференцирование
Вычисление производных.
Для вычисления производных в Maple имеются две команды:
1) прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.
2) отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде 
. После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.
Пример:
> Diff(sin(x^2),x)=diff(sin(x^2),x);
Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:
> Diff(cos(2*x)^2,x$4)=diff(cos(2*x)^2,x$4);
Полученное выражение можно упростить двумя способами:
> simplify(%);
> combine(%);
Дифференциальный оператор.
Для определения дифференциального оператора используется команда D(f) – f -функция. Например:
> D(sin);
cos
Вычисление производной в точке:
> D(sin)(Pi):eval(%);
-1
Оператор дифференцирования применяется к функциональным операторам
> f:=x-> ln(x^2)+exp(3*x):
> D(f);
Задание 2.
1. Вычислить производную 
> Diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x)=
diff(sin(2*x)^3-cos(2*x)^3,x);
2. Вычислить 
. Наберите:
> Diff(exp(x)*(x^2-1),x$24)=
diff(exp(x)*(x^2-1),x$24):
> collect(%,exp(x));
3. Вычислить вторую производную функции 
в точках x =p/2, x =p.
> y:=sin(x)^2/(2+sin(x)): d2:=diff(y,x$2):
> x:=Pi; d2y(x)=d2;
x:=p d2y(p)=1
> x:=Pi/2;d2y(x)=d2;
х:= 
§3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Большинство задач дифференциального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.
Частные производные.
Для вычисления частных производных функции f (x 1,…, xm) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования. Например, частная производная 
записывается в виде: diff(f,x,y).
Задание 3.
1. Найти 
и 
функции 
.
> f:=arctan(x/y):
>D iff(f,x)=simplify(diff(f,x));
> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));
.
2. Найти все частные производные 2-го порядка функции 
.
> restart; f:=(x-y)/(x+y):
> Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));
> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));
> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);
.
§4. Исследование функции
Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства (см. тему II). Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.