Пример решения системы уравнений методом Гаусса




 

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:


Умножив третью строку на , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гаусса-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

или

Ответ.

 

Понятие комплексного числа

Определение

Комплексным числом называется выражение вида

Например.

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Определение

Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel - действительный).

Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire - мнимый).

Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая - .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю (), то комплексное число называется чисто мнимым.

Например.

Мнимая единица

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

Равные комплексные числа

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Пример

Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.

Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда

Ответ.

Число называется комплексно сопряженным числом к числу .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .

Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .

Например. Противоположным к числу есть число: .

Алгебраическая форма комплексного числа

Определение

Запись вида называется алгебраической или к оординатной формой комплексного числа .

При этом действительное число называется действительной частью числа : , а действительное число - его мнимой частью: .

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству .

Например. Для числа действительная часть , а мнимая - .

Пример

Задание. Записать число в алгебраической форме. Определить, чему равны мнимая и действительная части.

Решение. Почленно поделим дробь:

Тогда

Ответ.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-04 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: