Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
Умножив третью строку на , получаем:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гаусса-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Полученной матрице соответствует система
или
Ответ.
Понятие комплексного числа
Определение
Комплексным числом называется выражение вида
Например.
Действительная и мнимая часть комплексного числа
Определение
Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel - действительный).
Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire - мнимый).
Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая - .
Если действительная часть комплексного числа равна нулю (), то комплексное число называется чисто мнимым.
Например.
Мнимая единица
Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:
Равные комплексные числа
Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:
Пример
Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.
Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда
Ответ.
Число называется комплексно сопряженным числом к числу .
То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.
Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .
Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .
Например. Противоположным к числу есть число: .
Алгебраическая форма комплексного числа
Определение
Запись вида называется алгебраической или к оординатной формой комплексного числа .
При этом действительное число называется действительной частью числа : , а действительное число - его мнимой частью: .
Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству .
Например. Для числа действительная часть , а мнимая - .
Пример
Задание. Записать число в алгебраической форме. Определить, чему равны мнимая и действительная части.
Решение. Почленно поделим дробь:
Тогда
Ответ.