Если производная функции на некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.
Понятие экстремума функции
Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .
Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Теорема(Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Теорема (Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
1. функция непрерывна в окрестности точки ;
2. или не существует;
3. производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
1. найти производную ;
2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
4. найти значение функции в экстремальных точках.
Пример
Задание. Исследовать функцию на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .
Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция является убывающей; на интервале производная , значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ.