Практическая работа №1
Форматирование текста
Значительным шагом в развитии вероятностных представлений явились работы Д. Кардано, Н. Тартальи и Л. Пачиоли. Работа Н. Тартальи «Общий трактат о числе и мере» имела существенное значение в становлении первоначальных вероятностных представлений. В середине XVII в. в разработку теории вероятностей были вовлечены Паскаль, Ферма, Гюйгенс. Так, Гюйгенс написал книгу «О расчетах и азартных играх» (слово «азартный» происходит от французского слова Lehazard, что означает «случай»).
Дальнейшее развитие теория вероятностей получила в работах Галилея, где он использует теорию вероятностей в астрономии и теории ошибок. Разносторонним ученым, сделавшим большой вклад в развитие теории вероятностей, явился Лаплас. Он доказал предельную теорему, одну из центральных в теории вероятностей. Разработкой отдельных вопросов теории вероятностей занимались Муавр и Пуассон. Все свои работы по теории вероятностей он обобщил и объединил в «Исследованиях о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам» считая, что теория вероятностей применима к оценке правильности решения судов:
1. В России решением вероятностных вопросов занимались математики Петербургской школы. В развитии теории вероятности большую роль сыграли В.Я. Буняковский, М.В. Остроградский. Особенно большое влияние на все дальнейшее развитие теории оказало творчество П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова. За последние 90 лет большой вклад в развитие этой науки внесли А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеценко, В.И. Романовский и др. В XIX и XX вв. теория вероятностей стала применяться в самых разнообразным отделах естествознания. Наиболее полно теория вероятностей используется в математической и прикладной статистике – в статистике производства, в статистике народонаселения, в биологической или «вариационной» статистике, в «звездной» статистике и т.д;
2. Теория вероятностей используется как теоретическая основа учения об обработке наблюдений в физике, астрономии, геодезии, а также в ряде военных и технических дисциплин: в теории стрельбы и бомбометаний, в телефонии, страховом и текстильном деле, машиностроении в виде теории допусков и теории надежности. Такие математические дисциплины, как теория массового обслуживания, теория расписаний, теория игр, основаны на теории вероятностей. Но наиболее глубоко использует теорию вероятностей теоретическая физика. Основные понятия таких глав физики, как кинетическая теория газов и статистическая физика основаны на понятиях и результатах теории вероятностей;
- первоначальные сведения теории вероятностей, особенно повторных испытаний, строятся на комбинаторных понятиях.
Основные понятия комбинаторики
При решении задач по теории вероятностей используются три вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из n данных элементов, и которые отличаются одно от другого или элементами или порядком элементов (следовательно, предполагается, что m £ n). Обозначается 
(от франц. слова arrangement – размещение). Вычисляется по формуле
Перестановками называются такие соединения, которые отличаются только порядком расположения элементов. Обозначается Pm (от франц. слова permutation – перестановка). Учитывая, что в случае перестановок n = m, то
.
Часто этот символ читают как n факториал. Если среди n элементов есть одинаковые, например, элемент «a » повторяется «a » раз, элемент «b » – «b » раз, элемент «c » – «g » и т.д., то 
.
Сочетаниями называются такие соединения, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Обозначают эти соединения 
(от франц. слова combinaison – сочетание). Считается этот вид соединения по формуле 
или 
или 
. Сочетания обладают свойством 
, применение которого часто упрощает вычисления. Во всех указанных формулах следует считать 0!=1.
Основные понятия теории вероятности
Событием называется всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит или не происходит.
События называют несовместными, если появление одного их них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Если появление одного события не исключает появления другого, то такие события называются совместными.
События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.
События называются достоверными, если они с необходимостью должны произойти.
События называются невозможными, если их ненаступление достоверно.
Если символом 
обозначить событие, равносильное ненаступлению событию А, то в таком случае событие называется противоположным событию А.
Испытанием называется соблюдение определенных условий, при которых может произойти данное событие.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них, т.е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность Р (А) не зависит от того, произошло событие В или нет.
Определение вероятностей
Классическое определение. Пусть известно, что событие А может произойти совместно с одним из n равновозможных, единственно возможных и несовместных событий, образующих полную группу.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию m исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность появления события а обозначается 
.
Элементарным исходом (элементарным событием) называется каждый из возможных результатов испытания.
Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:
а) вероятность достоверного события равна 1;
б) вероятность невозможного события равна 0;
в) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.
Статистическое определение вероятности. Пусть при одних и тех же условиях производится серия испытаний на появление события А. Допустим, что из n испытаний А появилось m раз. Отношение 
называется частотой появления событияА.
Постоянное неотрицательное число, около которого колеблется частота события А, при достаточно большом числе испытаний называется статистической вероятностью события А. Таким образом, .
Геометрическая вероятность. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящей в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть пространства). Пусть реализация всех условий, при которых может произойти событие А, сводится к появлению точки М в любом месте некоторой плоскости Д. Пусть далее событие А происходит, если точка М в некоторой области d – части Д. Тогда по определению вероятность попадания точки М в область d, если она попала в область Д, равна 
где Sd и SД – площади областей d и Д.
Замечание. Схема применима и в тех случаях, когда d и Д – одномерные и трехмерные области. Тогда 
или 
, где l и V – длина и объем соответствующей области.