Многочлены с действительными коэффициентами

МНОГОЧЛЕНЫ

Определение 2.1. Полиномом (многочленом) относительно переменной называют выражение вида , , , где

– коэффициенты полинома; – старший коэффициент, считается не равным нулю; – свободный член, – степень полинома.

Если , то полином называется приведённым.

При делении многочлена на применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.

Схема Горнера

При делении на получается многочлен , а в остатке число . Тогда = = .

				…
				…

Теорема 2.1. (Теорема Безу). Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена при .

Следствие 2.1. Если является корнем многочлена, то делится на без остатка (нацело).

Определение 2.2. Уравнение называется алгебраическим уравнением -ой степени.

Нахождение корней алгебраических уравнений.

1. Алгебраическое уравнение нулевой степени корней не имеет.

2. Алгебраическое уравнение первой степени имеет один корень , .

3. Корни алгебраического уравнения второй степени находятся по формулам:

а) ,

б) , , причём и взаимно сопряженные числа.

4. Корни двучленного алгебраического уравнения -го порядка находят по формуле .

Определение 2.3. Корень многочлена называется корнем кратности , если делится (без остатка) на , но не делится на .

Если , то корень называется простым.

Теорема 2.2. (теорема Гаусса, основная теорема алгебры). Уравнение , где , имеет хотя бы один корень (в общем случае комплексный).

Следствие 2.1. Многочлен степени с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом имеет ровно корней и разлагается в произведение сомножителей вида , т. е. , и это представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Многочлены с действительными коэффициентами

Теорема 2.3. Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то сопряжённое число также является корнем этого многочлена (доказать самостоятельно).

Следствие 2.4. Многочлен нечётной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание 2.2. Среди приведенных многочленов с действительными коэффициентами неразложимыми на множители меньшей степени на множестве действительных чисел (неприводимыми многочленами) являются лишь многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом.

Теорема 2.5. Целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Теорема 2.6. Для того чтобы несократимая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы было делителем свободного члена , а число делителем старшего коэффициента .

Следствие 2.5. Если с целыми коэффициентами и (приведенный многочлен), то рациональными корнями этого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена .

Теорема 2.7. (теорема Виета)Корни уравнения связаны с его коэффициентами формулами Виета:

………………………………….

Пример 1. Разложить многочлен на неприводимые множители в R и линейные множители в С, используя схему Горнера. Сделать проверку. .

Решение: У нас многочлен четвертой степени, из основной теоремы, алгебры следует, что у него имеется ровно четыре корня. Так как у многочлена с действительными коэффициентами корни являются делителями свободного члена, то делителями являются числа: , , , , .

По схеме Горнера выясним, какие из них являются корнями многочлена .

	−3	−18
	−1	−16
−1	−3	−24

−2

−3

не является корнем;

− корень;

не является корнем;

− корень.

Итак: − разложение в R.

, , отсюда

− разложение в С.

Проверка:

2.1. Разделить:

1. на ;

2. на ;

3. на ;

4. на ;

5. на ;

6. на .

2.2. Выделить целую и дробную часть рациональной функции:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

2.3. Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

2.4. Доказать, что целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

2.5. Найти целые корни уравнений:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

2.6. Доказать, что каждый рациональный корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами представим в виде , где p − делитель свободного члена, q − делитель старшего коэффициента уравнения .