Формула полной вероятности




Элементы комбинаторики

ПЕРЕСТАНОВКИ - различные комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения этих элементов

Количество перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn=n!

Здесь , причем 0!=1, 1!=1

ПРИМЕР Пусть А={1;2;3}. P3-?

Возможные перестановки: (1;2;3) (2;3;1) (3;1;2) (1;3;2) (2;1;3) (3;2;1)
Количество перестановок:

СОЧЕТАНИЯ - различные комбинации по k элементов, взятых из n элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Количество сочетаний вычисляется по формуле:

Здесь порядок элементов не важен.

ПРИМЕР Пусть А={1;2;3}. Возможные сочетания: (1;2), (1;3), (3;2).

РАЗМЕЩЕНИЯ - различные комбинации по k элементов, взятых из n элементов, отличающиеся друг от друга как элементами, так и порядком их расположения.

Количество размещений вычисляется по формуле

Здесь порядок элементов важен.

ПРИМЕР Пусть А={1;2;3}. Возможные размещения (1;2), (1;3), (3;2), (2;1), (3;1), (2;3).

Правило суммы

Если некоторый объект Х может быть выбран из совокупности объектов n способами, а объект Y может быть выбран из этой же совокупности k способами, то либо X либо Y могут быть выбраны n+k способами.

Правило произведения

Если некоторый объект X может быть выбран из совокупности объектов n способами, а объект Y может быть выбран из этой же совокупности k способами, то и X, и Y могут быть выбраны n·k способами.

Вероятность события

О.1. Совокупность условий - ОПЫТ=ИСПЫТАНИЕ.

О.2. Результат опыта - ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ИСХОД=СОБЫТИЕ (А)

О.3. Если в результате опыта событие обязательно произойдет, оно называется достоверным, если событие в данном опыте не может произойти, оно называется невозможным, а если может произойти или не произойти, оно называется случайным.

О.4. Возможность появления любого элементарного исхода испытания одинакова = все исходы равновозможны.

О.5. Если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно из n событий, то эти n событий называют полной группой событий.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

Пусть n -число всех равновозможных элементарных исходов некоторого опыта, образующих полную группу.

k - число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию A.

ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ .

СВОЙСТВА: 1. 0£P(A)£1 2. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА 0.

3. ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТОВЕРНОГО СОБЫТИЯ РАВНА 1.

Алгебра событий

Произведение событий

О.1. Два события А и В называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если вероятность одного из них не изменяется от появления или не появления другого. В противном случае события называются ЗАВИСИМЫМИ.
О.2. ПРОИЗВЕДЕНИЕМ двух событий А и В называется третье событие С=АВ, состоящее в совместном появлении этих событий (то есть в появлении и А и В).

ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ

Т.1. А и В независимы Þ .

Т.2. А и В зависимы Þ

Сумма событий

О.3. Если в результате испытания два события не могут появиться одновременно Þ они называются НЕСОВМЕСТНЫМИ. Если появление одного события не исключает появление другого Þ события СОВМЕСТНЫ.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ

Т.1. А и В несовместны Þ Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Т.2. А и В совместны Þ Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Т.3. если события Аi несовместны и образуют полную группу, то Р(А123+...+Ак)=1, .

Противоположные события

О.4. Два несовместных, образующих полную группу событий, называются противоположными.

ОБОЗНАЧЕНИЯ: А и - противоположные события. Если Р(А)=р, то p+q=1

О.5. Алгеброй событий называется произведение, или сумма, или сумма произведений разных событий.

Например, К=А+ВС+АВД+С+ВД

Пусть рассматриваются события А, В, С и D.

Событие Е - появление только одного из них

Событие F появление только двух

Событие G - появление только трех

Событие Н - появление всех событий

Событие К - появление хотя бы одного из них К=E+F+G+H

Событие - непоявление всех событий

Вероятность появления хотя бы одного из нескольких независимых событий.

Если , , , ,

Если q1=q2=q3=q4=q

 

Замечание: Все результаты справедливы для любого количества событий

Формула полной вероятности

Если событие А может наступить только вместе или после одного из нескольких несовместных событий Н1, Н2,... Нк , образующих полную группу, то вероятность А вычисляется по следующей формуле:

СОБЫТИЕ А ЕЩЕ НЕ ПРОИЗОШЛО !

Формула Байеса

Если событие А, которое может наступить только вместе или после одного из нескольких несовместных событий Н1, Н2,... Нк , образующих полную группу, произошло, то вероятность каждой из гипотез вычисляется по формуле

ФОРМУЛЫ ПЕРЕСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГИПОТЕЗ

Повторение испытаний

Проводится серия из n испытаний. Вероятность появления события А в каждом испытании одинаковаи равна р. Вероятность того, что событие в серии из n испытаний появилось ровно k раз вычисляется по

ФОРМУЛЕ БЕРНУЛЛИ , n 20, q = 1 - p

Если количество испытаний n достаточно велико, то вероятность появления события в этой серии испытаний ровно k раз вычисляется с помощью ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА

, где ,

где - локальная функция Лапласа. j(-x) = j(x), значения j(x) находят по Таблице.

Более k раз, не более k раз, менее k раз, не менее k раз, от k 1 до k2 раз вычисляется с помощью

ИНТЕГРАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА

, где

где - интегральная функция Лапласа

 

Ф(-x) = - Ф(х) значения Ф(х) находят по Таблице

...





Читайте также:
Как оформить тьютора для ребенка законодательно: Условием успешного процесса адаптации ребенка может стать...
Основные факторы риска неинфекционных заболеваний: Основные факторы риска неинфекционных заболеваний, увеличивающие вероятность...
Конфликтные ситуации в медицинской практике: Наиболее ярким примером конфликта врача и пациента является...
Новые русские слова в современном русском языке и их значения: Менсплейнинг – это когда мужчина что-то объясняет...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.014 с.