Метод подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).





 

Этот метод применим к решению ЛНДУ с постоянными коэффициентами вида (3) только в случаях, когда его правая часть :

· многочлен;

· показательная функция;

· тригонометрические функции (или одна из них);

· линейная комбинация перечисленных функций;

· произведение перечисленных функций.

Таким образом, рассматриваемый метод применяется при следующем виде правой части ЛНДУ:

 

, (2)

где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. Возможны разновидности этого вида правой части в зависимости от того, содержатся или нет в тригонометрические функции.

 

Сущность метода состоит в том , что :

 

· по характерному виду правой части ЛНДУ и корням характеристического уравнения соответствующего ЛОДУопределяется общий вид частного решения уравнения (ниже рассматриваются различные случаи и соответствующих им );

 

· неизвестные коэффициенты многочлена или тригонометрических функций в искомом находятся методом неопределенных коэффициентов.Он состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях ( или при одноимённых тригонометрических функциях) левой и правой частей уравнения, полученного в результате подстановки в данное ЛНДУ частного решения ( в его общем виде) и его производных ;

· найденные коэффициенты подставляются в предварительно установленный общий вид , в результате находится .

· далее в соответствии со структурой общего решения ЛНДУ суммируется ЛОДУ и ЛНДУ и получается

 

.

 

Рассмотрим два различных вида ( и их частные случаи) правой части ЛНДУ(3) и соответствующие им виды частного решения (см. таблицу 3).

 

Таблица 3.

Частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений по виду его правой части

  Вид правой части и его частные случаи Вид частного решения
I , где -многочлен -ой степени; -постоянное число. , где · - многочлен той же степени, что и ; · - та же показательная функция; · - число корней характеристического уравнения, равных , т.е. · Примеры многочленов разных степеней:
  Случай 1. , где: · - число корней характеристического уравнения, равных ; · - многочлен той же степени, что и ;
  Случай 2. где постоянное число(многочлен 0-ой степени). , где · - та же показательная функция; · - число корней характеристического уравнения, равных . · А- постоянное число ( многочлен 0-й степени), которое находится методом неопределённых коэффициентов.
II где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. , где: · и - многочлены степени , (где ). · - те же самые тригонометрические функции, что и в ; · - та же показательная функция; · - число корней характеристического уравнения, совпадающих с , т.е. ·
  Случай 1. , т.е. - многочлены 0-й степени, т.е. постоянные числа, , где - действительные числа ( в частности, возможно или ). , где · A и В- действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; · - та же показательная функция; · - те же самые тригонометрические функции, что и в ; · - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .
  Случай 2. , , , где - действительные числа .   , где · A и В- действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; · - те же самые тригонометрические функции, что и в ; · - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Рассмотрим сущность метода подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части на примерах.

 

I вид. Правая часть ЛНДУ

 

, (1)

 

где - многочлен -ой степени, - постоянное число. Тогда общий вид частного решения: , где - та же самая показательная функция, что и в ; - многочлен той же степени, что и ; - число корней характеристического уравнения, равных .

Далее путем подстановки общего вида в линейное неоднородное дифференциальное уравнение находятся неопределённые коэффициенты многочлена .

 

Пример 3.Найти общее решение дифференциального уравнения:

 

.

 

Решение.

· Находим общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

.

 

Характеристическое уравнение : . Его корни . Общее решение ЛОДУ: .

· Правая часть . Следовательно, общий вид частного решения ЛНДУ: , ( , т.к. оба корня характеристического уравнения совпадают с ). Итак,

 

.

 

· Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Для этого подставим в данное дифференциальное уравнение . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 4, 4 и 1:

 

 

Сложим левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с тремя неизвестными . Разделим обе части полученного уравнения на . Приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях :

 

Решение системы: .

 

· Подставим A и B в общий вид , получим

 

.

 

· Найдем общее решение ЛНДУ:

 

.

 

 

Ответ: .

 

Замечание.Следует обратить внимание на то, что полученное в данном примере значение r=2 (кратность корней) привело к двум не информативным алгебраическим уравнениям (*).

В практике решения ЛНДУ распространены следующие частные случаи I-го вида правой части f(x).

 

Случай 1.

Правая часть ЛНДУ: , где - многочлен n-ой степени, т.е.

 

.

 

Таким образом, в .

Тогда общий вид частного решения: , где - многочлен той же степени, что и , r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Далее, дифференцируя функцию и подставляя выражения в ЛНДУ, находим неопределенные коэффициенты многочлена .

Подставляя эти коэффициенты в общий вид , находим частное решение ЛНДУ.

Напомним общий вид многочленов:

 

· третьей степени (n=3): ;

· второй степени (n=2): ;

· первой степени (n=1): ;

· нулевой степени (n=0): .

 

Пример 4. Найти общее решение ДУ:

 

.

 

Решение.

· Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

 

Характеристическое уравнение: . Его корни: .

Общее решение ЛОДУ: .

 

· Правая часть , следовательно общий вид частного решения ЛНДУ: , , т.к. один корень характеристического уравнения равен 0).

· Найдем неизвестные коэффициенты A и B. Для этого подставим в данное ДУ :

.

 

Тогда

 

.

 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :

 

.

 

· Подставим A и B в общий вид , получим

.

 

· Найдем общее решение ЛНДУ:

 

.

 

 

: .

 

Ответ: .

 

Случай 2.

Правая часть ЛНДУ: , где - постоянное число, т.е. в (20) - многочлен нулевой степени ( =0).

Тогда общий вид частного решения: , где - та же показательная функция; - постоянное число (в общем случае ), которое находится методом неопределенных коэффициентов; - число корней характеристического уравнения, равных .

Возможен и еще один, наиболее простой, частный случай (вернее, подслучай) вида правой части ЛНДУ: , т.е. в (20) , =0. Тогда общий вид частного решения: , где - постоянное число, которое находится методом неопределенных коэффициентов, - число корней характеристического уравнения, равных нулю. Рассмотрим второй вид правой части ЛНДУ, в котором содержатся тригонометрические функции и , т.е. наиболее общий вид (19) и его частные случаи.

II вид.Правая часть ЛНДУ содержит тригонометрические функции и , с полными многочленами перед ними:

 

, (19)

 

где - многочлен -ой степени, - многочлен -ой степени.

Тогда общий вид частного решения:

 

,

 

где и - многочлены -ой степени, ; и - те же тригонометрические функции, что и в правой части ДУ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с . Далее применяется метод неопределенных коэффициентов.

Пример 5.Найти общее решение ДУ:

 

.

Решение.

· Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

 

.

Характеристическое уравнение . Его корни комплексные . Общее решение ЛОДУ:

 

.

 

· Правая часть соответствует общему виду (19), когда многочлены при и полные. В данном случае:

=1 – многочлен 0-ой степени,

– многочлен 1-й степени, , т.к. множитель (поэтому в записи он отсутствует).

Тогда этому виду правой части соответствует частное решение вида

 

,

 

т.к. , т.е. при и многочлены 1-й степени, (т.к. совпадает с корнем характеристического уравнения).

 

· Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C, D.

Для этого подставим в данное ДУ Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 1, 0, 1:

 

.

 

Сложив соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с неизвестными А, В, С, D.

Аналогично предыдущим примерам приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:

 

 

· Подставим А, B, C, D в общий вид :

 

 

· Найдем общее решение ЛНДУ:

 

 

.

 

Ответ: .

 

В практике решения ЛНДУ распространены следующие частные случаи II-го вида правой части .

 

Случай 1.Правая часть ЛНДУ:

 

,

 

где - известные действительные числа. Таким образом, в (19) , т.е. и - многочлены 0-ой степени.

Тогда общий вид частного решения:

 

,

 

где и - неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; и - те же тригонометрические функции, что и в ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

Пример 6. Найти общее решение ДУ:

 

.

 

Решение.

· Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

.

 

Характеристическое уравнение: . Его корни комплексные: .

Общее решение ЛОДУ: .

· Правая часть соответствует первому частному случаю II вида правой части:

 

.

 

( =1, т.к. совпадает с корнем характеристического уравнения).

· Найдем неизвестные коэффициенты и . Для этого предоставим данное ДУ . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 5,4 и 1:

 

 

Сложим соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с двумя неизвестными и .

Разделим обе части полученного уравнения на . Аналогично предыдущему примеру, приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:

 

(*)

 

Вновь (как это было в примере 3) два уравнения с неизвестными коэффициентами в (*) не информативны. Из оставшихся уравнений имеем:

 

.

 

· Подставим и в общий вид , получим

 

.

 

· Найдем общее решение ЛНДУ:

.

 

 

Ответ: .

 

Случай 2.Правая часть ЛНДУ:

 

,

 

где известные действительные числа. Таким образом, в (19) многочлены 0-ой степени, т.е. .

Тогда общий вид частного решения:

,

где и - неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; и - те же тригонометрические функции, что и в ; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .

 

Пример7.Определить общий вид частного решения ДУ

 

.

 

Решение.

· Составим характеристическое уравнение соответствующего ЛНДУ: . Его корни .

· Правая часть соответствует второму частному случаю II вида, следовательно

 

,

 

где (т.к. - совпадает с одним корнем характеристического уравнения).

 

Таким образом, - общий вид частного решения.

 

Ответ: - общий вид частного решения.

 

Обобщением всех рассмотренных случаев правой части при нахождении частного решения ЛНДУ является (19) (в таблице 3 вида II)

Завершая рассмотрение решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов, представим общую схему (Рис.1)

1-й этап   ЛОДУ 2-й этап ЛОДУ
что найти -общее решение ЛОДУ - частное решение ЛНДУ
  как найти · составить характеристическое уравнение и найти его корни; · по характеру корней характеристического уравнения найти общее решение (см. табл.2).
 
 

 

 


 

· определить вид правой части ; · найти соответствующий виду общий вид (см. табл. 3) с неизвестными коэффициентами; · найти неизвестные коэффициенты в общем виде методом неопределенных коэффициентов ; · Подставить найденные коэффициенты в .  
3-й этап Найти - общее решение ЛНДУ  

 

Рис. 1 Общая схема решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов

 


 





Читайте также:
Основные признаки растений: В современном мире насчитывают более 550 тыс. видов растений. Они составляют около...
Методика расчета пожарной нагрузки: При проектировании любого помещения очень важно...
Пример художественного стиля речи: Жанры публицистического стиля имеют такие типы...
Термины по теме «Социальная сфера»: Общество — сумма связей, система отношений, возникающая...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.068 с.