Задачи повышенной сложности.




Тема 7. Прямоугольный треугольник.

Краткий конспект

Треугольник называется прямоугольным, если один из углов прямой. Стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Равенство двух прямоугольных треугольников можно установить, используя соответствующие признаки. Понятно, как общие признаки равенства треугольников переписываются для прямоугольных треугольников с учётом фиксированного прямого угла. Но появляется и признак равенства по катету и гипотенузе, который не следует напрямую из общих признаков.

Частным случаем прямоугольного треугольника является равнобедренный прямоугольный треугольник с острыми углами по 45.

Ещё одним важным частным случаем является треугольник с углами 30 и 60, гипотенуза которого в два раза больше катета, лежащего против угла в 30.

Утверждение. Медиана, проведённая из прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Это является как свойством, так и признаком прямоугольных треугольников.

Задачи для самостоятельного выполнения.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 420. Чему равна величина угла между медианой и высотой, выходящими из вершины C?

Ответ: 6

Задача 2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол B равен 60. Найдите отношение AH:HB, где CH — высота треугольника.

Ответ: 3

Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол B равен 60. Найдите отношение AH:HC, где H — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом AC.

Ответ: 2

Задача 4.

В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 30, AB=BC=6. Проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC. Найдите BE.

Ответ: 4.5

Задача 5.На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка K, что CK=AC. Отрезок CK пересекает биссектрису BL в её середине. Найдите величину угла ABC.

Ответ: 36

Краткий конспект

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CHCH. На катете BC отмечена точка D такая, что ∠CAD=∠ABC. Докажите, что CH делит отрезок AD пополам.

Утверждение. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C можно провести два отрезка, разбивающих угол C на углы, равные ∠A и ∠B. Один из них — это медиана, а другой — высота.

Утверждение. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка X такая, что CX=AX. Тогда CX — это медиана треугольника ABC.

Задача. Дан параллелограмм ABCD, точка M — середина стороны CD. Из точки B на отрезок AM опущен перпендикуляр BK. Докажите, что CK=CB.

Задачи для самостоятельного выполнения.

Задача 1. Про четырёхугольник ABCD известно, что AD∥BC, ∠A+∠D=90. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC, если AD=11, BC=7?

Ответ: 2

Задача 2.Про четырёхугольник ABCD известно, что AD∥BC, AC⊥BD. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC, если AD=11, BC=7?

Ответ: 9

Задача 3.Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠A=90, ∠B=120, ∠D=30. Пусть AB=7, BC=5. Чему равно CD?

Ответ: 19

Задача 4.Точки E и K —середины сторон AD и DC параллелограмма ABCD соответственно. Из его вершины B на отрезок EK опустили перпендикуляр BH. На стороне BC выбрана точка F такая, что углы FHK и KED равны. Найдите отношение BF:FC.

Ответ: 3

Задача 5.Медиана, проведённая из вершины A треугольника ABC, образует со сторонами AB и AC углы 30 и 90 соответственно. Чему равно отношение AB:AC?

Ответ: 2

Задача 6.Угол C треугольника ABC равен 1500. Из середины стороны AB на сторону BC опустили перпендикуляр. Найдите длину этого перпендикуляра, если AC=1.

Ответ: 0,25

 

Задачи повышенной сложности.

Задача 1. Один из углов треугольника на 120 больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.

Задача 2. В треугольнике ABC длины высоты BH и медианы CM равны. Найдите ∠MCA.

Ответ: 30

Задача 3. Прямоугольный лист бумаги ABCDABCD согнули так, как показано на рисунке. Найдите отношение DK:ABDK:AB, если C1C1 — середина ADAD.

Ответ: 3

Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60, AA1 и CC1 — его высоты, а M — середина стороны AC. Докажите, что треугольник A1MC1 — равносторонний.

Задача 5. В треугольнике ABC угол A равен 45, а угол C равен 30. Найдите угол между медианой AM и стороной BC.

Ответ: 45

Задача 6. В треугольнике ABC угол C равен 45. Докажите, что CH=AB, где H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Задача 7. Дан прямоугольный треугольник ABC с углом B больше 60. На катете BC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник BCD, а на гипотенузе AB во внутреннюю сторону — равносторонний треугольник ABE. Прямые DE и BC пересекаются в точке M. Найдите CM, если BC=10.

Ответ: 10

Задача 8. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка D, что BD=BC, а на катете BC — такая точка E, что DE=BE. Докажите, что AD+CE=DE.

Задача 9. В треугольнике ABC угол A равен 30, а угол B равен 15. Найдите угол между медианой CM и стороной AB.

Ответ: 45

 

 

 

...





Читайте также:
Методика расчета пожарной нагрузки: При проектировании любого помещения очень важно...
Основные идеи славянофильства: Славянофилы в своей трактовке русской истории исходили из православия как начала...
Роль химии в жизни человека: Химия как компонент культуры наполняет содержанием ряд фундаментальных представлений о...
Основные научные достижения Средневековья: Ситуация в средневековой науке стала меняться к лучшему с...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-11-04 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.012 с.