Задачи повышенной сложности.

Тема 7. Прямоугольный треугольник.

Краткий конспект

Треугольник называется прямоугольным, если один из углов прямой. Стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Равенство двух прямоугольных треугольников можно установить, используя соответствующие признаки. Понятно, как общие признаки равенства треугольников переписываются для прямоугольных треугольников с учётом фиксированного прямого угла. Но появляется и признак равенства по катету и гипотенузе, который не следует напрямую из общих признаков.

Частным случаем прямоугольного треугольника является равнобедренный прямоугольный треугольник с острыми углами по 45^∘.

Ещё одним важным частным случаем является треугольник с углами 30^∘ и 60^∘, гипотенуза которого в два раза больше катета, лежащего против угла в 30^∘.

Утверждение. Медиана, проведённая из прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Это является как свойством, так и признаком прямоугольных треугольников.

Задачи для самостоятельного выполнения.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 42⁰. Чему равна величина угла между медианой и высотой, выходящими из вершины C?

Ответ: 6

Задача 2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол B равен 60^∘. Найдите отношение AH:HB, где CH — высота треугольника.

Ответ: 3

Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол B равен 60^∘. Найдите отношение AH:HC, где H — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом AC.

Ответ: 2

Задача 4.

В равнобедренном треугольнике ABC угол B равен 30^∘, AB=BC=6. Проведены высота CD треугольника ABC и высота DE треугольника BDC. Найдите BE.

Ответ: 4.5

Задача 5.На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка K, что CK=AC. Отрезок CK пересекает биссектрису BL в её середине. Найдите величину угла ABC.

Ответ: 36

Краткий конспект

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CHCH. На катете BC отмечена точка D такая, что ∠CAD=∠ABC. Докажите, что CH делит отрезок AD пополам.

Утверждение. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C можно провести два отрезка, разбивающих угол C на углы, равные ∠A и ∠B. Один из них — это медиана, а другой — высота.

Утверждение. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка X такая, что CX=AX. Тогда CX — это медиана треугольника ABC.

Задача. Дан параллелограмм ABCD, точка M — середина стороны CD. Из точки B на отрезок AM опущен перпендикуляр BK. Докажите, что CK=CB.

Задачи для самостоятельного выполнения.

Задача 1. Про четырёхугольник ABCD известно, что AD∥BC, ∠A+∠D=90^∘. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC, если AD=11, BC=7?

Ответ: 2

Задача 2.Про четырёхугольник ABCD известно, что AD∥BC, AC⊥BD. Чему равна длина отрезка, соединяющего середины сторон AD и BC, если AD=11, BC=7?

Ответ: 9

Задача 3.Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠A=90^∘, ∠B=120^∘, ∠D=30^∘. Пусть AB=7, BC=5. Чему равно CD?

Ответ: 19

Задача 4.Точки E и K —середины сторон AD и DC параллелограмма ABCD соответственно. Из его вершины B на отрезок EK опустили перпендикуляр BH. На стороне BC выбрана точка F такая, что углы FHK и KED равны. Найдите отношение BF:FC.

Ответ: 3

Задача 5.Медиана, проведённая из вершины A треугольника ABC, образует со сторонами AB и AC углы 30^∘ и 90^∘ соответственно. Чему равно отношение AB:AC?

Ответ: 2

Задача 6.Угол C треугольника ABC равен 150⁰. Из середины стороны AB на сторону BC опустили перпендикуляр. Найдите длину этого перпендикуляра, если AC=1.

Ответ: 0,25

 

Задачи повышенной сложности.

Задача 1. Один из углов треугольника на 120^∘ больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.

Задача 2. В треугольнике ABC длины высоты BH и медианы CM равны. Найдите ∠MCA.

Ответ: 30^∘

Задача 3. Прямоугольный лист бумаги ABCDABCD согнули так, как показано на рисунке. Найдите отношение DK:ABDK:AB, если C1C1 — середина ADAD.

Ответ: 3

Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60^∘, AA₁ и CC₁ — его высоты, а M — середина стороны AC. Докажите, что треугольник A₁MC₁ — равносторонний.

Задача 5. В треугольнике ABC угол A равен 45^∘, а угол C равен 30^∘. Найдите угол между медианой AM и стороной BC.

Ответ: 45^∘

Задача 6. В треугольнике ABC угол C равен 45^∘. Докажите, что CH=AB, где H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Задача 7. Дан прямоугольный треугольник ABC с углом B больше 60^∘. На катете BC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник BCD, а на гипотенузе AB во внутреннюю сторону — равносторонний треугольник ABE. Прямые DE и BC пересекаются в точке M. Найдите CM, если BC=10.

Ответ: 10

Задача 8. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана такая точка D, что BD=BC, а на катете BC — такая точка E, что DE=BE. Докажите, что AD+CE=DE.

Задача 9. В треугольнике ABC угол A равен 30^∘, а угол B равен 15^∘. Найдите угол между медианой CM и стороной AB.

Ответ: 45^∘