Теоретическое обоснование

Лабораторная работа 4

Тема: Построение кривых заданных уравнением в полярной системе координат и параметрическими уравнениями.

Теоретическое обоснование

Прямоугольная система координат на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат. Положение некоторой точки на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат определяется числами и , т.е. (рис.1). Эту точку можно задать и другим способом.

Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч . Положение точки на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса и углом , образованным отрезком с полярной осью (рис. 2) и отсчитываемым в положительном направлении.

Рис. 1 Рис. 2

Числа и называются полярными координатами точки : называют полярным радиусом, – полярным углом.

В определенной таким образом полярной системе координат полярный радиус – всегда величина положительная или рав­ная нулю (), так как под понимается расстояние от полю­са до точки , а расстояние, как и всякая длина, не может быть отрицательным.

Однако на практике удобнее пользоваться такой системой полярных координат, в которой полярный радиус может при­нимать и отрицательные значения. Система полярных координат, в которой полярный радиус может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю), называется обобщенной системой полярных координат. Этой системой мы и будем пользоваться.

Если точка имеет координаты и : , то она имеет также и координаты и ; , так как угол характеризует направление полярного радиу­са, прямо противоположное тому, которое соответствует углу .

Отметим, что какой бы из этих двух систем полярных коор­динат мы ни пользовались, всегда паре чисел и соответствует на плоскости единственная точка.

Если совместить полюс с налом координат системы , а полярную ось – с положительной полуосью (рис. 3), то связь между полярными и прямоугольными координатами точки устанавливается формулами:

(1)

и

(2)

Рис. 3

Укажем также, как следует, в полярной системе координат построить точку по ее полярным координатам и . По за­данному полярному углу строим ось, проходящую через полюс под углом к полярной оси, причем положительное направле­ние построенной оси должно совпадать с тем направлением, ко­торое имела бы полярная ось, если бы ее повернули против ча­совой стрелки на угол . На этой оси откладываем отрезок длиной от полюса в положительном направлении построенной оси, если , и в отрицательном – если .

Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение , которому удовлетворяют координаты и каждой точки этой линии и только они. Переменные и в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат: .

Линию на плоскости можно задать параметрическими уравнениями:

где – величина, называемая параметром.