В двоичной (binary) системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.
Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1
1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (перенос в старший разряд)
Таблица умножения для двоичных чисел еще проще:
0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1
Пример выполнения операции сложения в двоичной системе счисления:
1 1 1
1 0 1 12 Красным цветом показан перенос из младших разрядов в
+ 1 1 02 старшие
1 0 0 0 12
Для проверки правильности выполнения операции переведем все три числа из двоичной системы в 10-ую:
1011 = 1*23 + 1*21 + 1 = 8 + 2 + 1 = 1110
3 2 1 0
110 = 1*22 + 1*21 = 4 + 2 = 610
2 1 0
10001 = 1*24 + 1 = 16 + 1 = 1710
4 3 2 1 0
Сумма первых двух чисел (11 и 6) равна третьему числу (17), следовательно операция выполнена верно.
Обратите внимание на то, что при добавлении к числу, состоящему из единиц (11…1), еще одной единицы, получается число, равное 1 с количеством нулей, равным количеству единиц исходного числа, например:
1111 11112 + 1 = 1 0000 00002 = 28
Пример выполнения операции вычитания в двоичной системе счисления:
Вычитание выполняется по тем же правилам, что и в 10-ой системе, но в 10-й системе при заеме единицы старшего разряда она превращается в 10 единиц младшего разряда, а в 2-й системе – в 2 единицы. Если нужно произвести заем не в соседнем разряде, а далее влево, то из каждых двух единиц текущего разряда одна остается в этом разряде, а вторая передается вправо. Сравните:
9 9 10 1 1 2
1 0 0 010 1 0 0 02
- 1 - 1
9 9 910 1 1 12
Выполним в 2-й системе счисление вычитание 1710 – 610 :
0 1 1 2
1 0 0 0 12
- 1 1 02
1 0 1 12 = 1110 Проверка показывает, что вычитание выполнено верно.
Если в двоичной системе счисления из числа, являющегося степенью двойки, вычесть 1, то получается число, состоящее из единиц, количество которых равно количеству нулей двоичного числа, например:
28 - 1 = 1 0000 00002 – 1 = 1111 11112
1023 = 1024 – 1 = 210 – 1 = 11 1111 11112
Пример выполнения операции умножения в двоичной системе счисления:
1 1 0 12 = 1310
* 1 0 12 = 510
1 1 0 1
+1 1 0 1
1 0 0 0 0 0 12 = 26 +1 = 64 +1 =6510 (13 * 5 = 65)
6 5 4 3 2 1 0
Рассмотрим подробнее, как процессор выполняет умножение двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый справа элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и, если, второй элемент второго множителя равен единице, то добавляет его к сумме. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется. Этот процесс сдвигов и сложений повторяется.
Пример выполнения операции деления в двоичной системе счисления:
Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.
В качестве примера разделим 14310 = 100011112 на 1310 = 11012
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
- 1 1 0 1 1 0 1 12 = 1110
1 0 0 1 1
- 1 1 0 1
1 1 0 1
- 1 1 0 1
0
Проверка показывает, что деление выполнено верно (143 / 13 = 11).
Умножение или деление двоичного числа на 2 приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево:
10112 * 102 = 101102.
10112 / 102 = 101.12.
Ая система счисления
При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.
Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.
В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто, подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.
Пример выполнения операции сложения в восьмеричной системе счисления:
1 1 Красным цветом показан перенос из младших разрядов в старшие.
4 7 6 Выполнение операции в каждом разряде:
+ 3 4 1) 6 + 4 = 10 = 1*8 + 2 = 128
5 3 2 2) 1 + 7 + 3 = 1*8 + 3 = 138
3) 1 + 4 = 5
Проверим результат путем перевода чисел в десятичную систему счисления:
4768 = 4*82 + 7*8 + 6 = 318 318
348 = 3*8 + 4 = 28 +28
532 = 5*82 + 3*8 + 2 = 346 346
Пример выполнения операции вычитания в восьмеричной системе счисления:
7 8 Красным цветом показан перенос из старших разрядов в младшие.
5 3 2 Выполнение операции в каждом разряде:
- 3 4 1) 8 + 2 – 4 = 6
4 7 6 2) 7 + 2 - 3 = 1 *8 + 3 = 138
3) 1 + 4 = 5
Пример выполнения операции умножения в восьмеричной системе счисления:
5 4 54 4*4 = 16 = 2 *8 + 0 = 208 (записываем 0)
* 3 4 * 4 2+ 5*4 = 22 = 2 *8 + 6 = 268
2 6 0 260
+ 2 0 4
2 3 2 0 54 4*3 = 12 = 1 *8 + 4 = 148 (записываем 4)
* 3 1 + 5*3 = 16 = 2 *8 + 0 = 208
Выполним проверку:
548 = 5*8 + 4 = 4410 44
348 = 3*8 + 4 = 2810 * 28
23208 = 2*83 + 3*82 + 2*8 = 123210 352
+ 88 = 123210
Пример выполнения операции деления в восьмеричной системе счисления:
2 3 2 08 5 48
- 2 0 4 3 48
2 6 0
- 2 6 0
Деление в восьмеричной системе близко делению в десятичной системе: нужно подобрать цифры частного. 232 делим на 54, в десятичной системе мы получили бы целое частное 4, но из предидущего примера мы знаем, что в восьмеричной системе 54*4 = 260, это много, попробуем взять цифру поменьше – 3, умножаем 54*3 = 204, эта цифра подходит, и т.д.
В различных языках программирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает десятичное число 9.
Ая система счисления
В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяются десять цифр от 0 до 9 и шесть первых букв латинского алфавита:
10 – A 11 – B 12 – C 13 – D 14 – E 15 – F.
При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус.
Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 - это разные числа.
Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления (см. рисунок).
Пример выполнения операции сложения в 16-ой системе счисления:
1 1 Красным цветом показан перенос из младших разрядов
A 7 B16 Выполнение операции в каждом разряде:
+ C 816 B + 8 = 11 + 8 = 19 = 1*16 + 3 = 1316 (записываем 3)
B 4 316 1+7+С = 8+12 = 20 = 1*16 + 4 = 1416 (записываем 4)
1 + A = B
Проверим резульат путем перевода чисел в 10-ю систему:
A7B16 = 10*162 + 7*16 +11 = 2683
2 1 0 2683
C816 = 12*16 + 8 = 200 + 200
1 0 2883
B4316 = 11*162 + 4*16 +3 = 2883
2 1 0
Пример выполнения операции вычитания в 16-ой системе счисления:
15 16 Красным цветом показан заем из старших разрядов
B 4 316 Выполнение операции в каждом разряде:
- A 7 B16 16 + 3 – B = 19 -11 = 8
C 816 15 + 4 – 7 = 12 = C
B - 1 – A = 0
Умножение и деление в 16-ой системе обычно не выполняется ввиду сложности вычислений.